立體圖形｜12–13 歲（中一）
歐拉公式與正多面體
F + V − E = 2；棱 = 面的邊數總和 ÷ 2。
歐拉公式與正多面體的方法
方法
F + V − E = 2；棱 = 面的邊數總和 ÷ 2
正方體：
另一種做法
由面去數
正二十面體：
詳細講解
每一個沒有洞的多面體，面數 F、頂點數 V、棱數 E 都符合歐拉公式：F + V − E = 2。知道其中兩個，就可以求第三個：E = F + V − 2，V = 2 − F + E，F = 2 − V + E。正多面體只有 5 種：正四面體（4 個正三角形）、正六面體即正方體（6 個正方形）、正八面體（8 個正三角形）、正十二面體（12 個正五邊形）、正二十面體（20 個正三角形）。由面去數棱和頂點：每條棱屬於 2 個面，所以 E = 面的邊數總和 ÷ 2；每個頂點有 m 個面相交，所以 V = 面的邊數總和 ÷ m。例如正二十面體：20 × 3 ÷ 2 = 30 條棱，20 × 3 ÷ 5 = 12 個頂點，檢查 20 + 12 − 30 = 2。為甚麼只有 5 種？每個頂點最少 3 個面相交，而角的總和要小於 360°：3、4、5 個正三角形，3 個正方形，3 個正五邊形；正六邊形 3 個已經是 360°，攤平了。
例題
先自己想一想，再打開看答案和步驟。
例題 1
圖中的正多面體有多少條棱？
看答案和步驟
答案：12 條
它有 6 個面，每個面 4 條邊，每條棱屬於兩個面：6 × 4 ÷ 2 = 12。也可以直接數，虛線也要算。
例題 2
一個多面體有 10 個面、16 個頂點和 24 條棱，這三個數符合歐拉公式。
判斷對錯
看答案和步驟
答案：對
代入 F + V − E：10 + 16 − 24，等於 2 才符合。符合的棱數應是 10 + 16 − 2 = 24。
例題 3
七角柱切去一個頂點附近的一角（切口是三角形）。剩下的立體有多少條棱？
看答案和步驟
答案：24 條
切去一角：面多了切口 1 個，共 10 個；原來的 1 個頂點變成切口的 3 個，共 16 個；由 E = F + V − 2 = 24。
試做練習題
先試做 5 題，答案在最後。想要整份練習卷，看下面的 VIP 練習卷。
1.一個多面體有 5 個面和 5 個頂點。它有多少條棱？
答：
2.一個多面體有 6 個頂點和 9 條棱。它有多少個面？
答：
3.一個多面體有 8 個面、8 個頂點和 16 條棱，這三個數符合歐拉公式。
判斷對錯
答：
4.每個頂點有 6 個全等的正多邊形相交，每個正多邊形有 5 條邊。這樣可以組成一個正多面體。
判斷對錯
答：
5.五角柱切去一個頂點附近的一角（切口是三角形）。剩下的立體有多少條棱？
答：
全部答案
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