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因式分解｜13–14 歲（中二）

用立方和與立方差因式分解

先抽公因式，再寫成 a3 ± b3，a2、ab、b2 整項計。

用立方和與立方差因式分解的方法

方法

先抽公因式，再寫成 a^3 ± b^3，a^2、ab、b^2 整項計

8x3 − 27y3 = (2x − 3y)(4x2 + 6xy + 9y2)

另一種做法

代入數值驗算

x = 1：2 − 54 = −52，2 × (−2) × 13 = −52

詳細講解

把兩條恆等式倒過來用：a3 + b3 ≡ (a + b)(a2 − ab + b2)，a3 − b3 ≡ (a − b)(a2 + ab + b2)。第一步：各項有公因式就先抽出，2x3 − 54 = 2(x3 − 27)。第二步：把兩項各寫成立方，找出 a 和 b：x3 − 27 = x3 − 33，a = x，b = 3；8x3 − 27y3 = (2x)3 − (3y)3，a = 2x，b = 3y。第三步：代入公式，a2、ab、b2 要整項計：(2x − 3y)(4x2 + 6xy + 9y2)，不是 2x2。所以 2x3 − 54 = 2(x − 3)(x2 + 3x + 9)。第二個括號不能再分解（它不是完全平方：完全平方的中間項是 6x）。次序調轉的也一樣：64 − x3 = (4 − x)(16 + 4x + x2)。最後展開驗算，或代入一個數值：x = 1 時，2 − 54 = −52，2 × (−2) × 13 = −52，一樣。

例題

先自己想一想，再打開看答案和步驟。

  1. 例題 1

    8x3 − 27 = (x − )(x2 + x + )

    填上每個空格

    看答案和步驟

    答案：2，3，4，6，9

    8x3 = (2x)3，27 = 33。a = 2x，b = 3：a2 = 4x2，ab = 6x，b2 = 9，所以是 (2x − 3)(4x2 + 6x + 9)。

  2. 例題 2

    2x3 + 16 = (x + )(x2 − x + )

    填上每個空格

    看答案和步驟

    答案：2，2，2，4

    先抽出公因數 2：2(x3 + 8)，再用立方和：8 = 23，所以是 2(x + 2)(x2 − 2x + 4)。

  3. 例題 3

    3x3 − 375 完全因式分解的結果是 3(x − 5)(x2 + 10x + 25)。

    判斷對錯

    看答案和步驟

    答案：錯

    3x3 − 375 = 3(x3 − 125) = 3(x − 5)(x2 + 5x + 25)：中間項是 ab = 5x，不是 2ab。

試做練習題

先試做 5 題，答案在最後。想要整份練習卷，看下面的 VIP 練習卷。

  1. 1.x3 + 343 = (x + )(x2 − x + )

    填上每個空格

    答：

  2. 2.3x3 + 3 = (x + )(x2 − x + )

    填上每個空格

    答：

  3. 3.216 − x3 = (6 − x)( + 6x + x2)

    答：

  4. 4.把 27x3 − 125y3 因式分解，結果是甚麼？

    • A. (3x − 5y)(3x2 + 15xy + 5y2)
    • B. (3x − 5y)(9x2 − 15xy + 25y2)
    • C. (3x − 5y)(9x2 + 15xy + 25y2)
    • D. (3x − 5y)3

    選出正確答案

    答：

  5. 5.2x3 − 432 完全因式分解的結果是 2(x − 6)(x2 + 6x + 36)。

    判斷對錯

    答：

全部答案
  1. 1. 7，7，49
  2. 2. 3，1，1，1
  3. 3. 36
  4. 4. C. (3x − 5y)(9x2 + 15xy + 25y2)
  5. 5. 對
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