因式分解

這個課題的技巧和方法（由淺入深）

1. 1提公因式係數取 H.C.F.，字母取最低指數

   方法6x² − 9x = 3x(2x − 3)

   另一種做法：展開驗算3x(2x − 3) = 6x² − 9x

2. 2用平方差因式分解兩個平方中間是減號；先抽公因數

   方法9x² − 16 = (3x + 4)(3x − 4)

   另一種做法：展開驗算(3x + 4)(3x − 4) = 9x² − 16

3. 3用完全平方因式分解首尾是平方，中間是兩倍之積

   方法x² − 10x + 25 = (x − 5)²

   另一種做法：展開驗算(x − 5)² = x² − 10x + 25

4. 4分組分解兩項一組各抽公因式，括號要一樣

   方法xy + 3x + 2y + 6 = (y + 3)(x + 2)

   另一種做法：換一種分組(xy + 2y) + (3x + 6) = y(x + 2) + 3(x + 2)

5. 5十字相乘：二次項係數是 1找兩個數：積是 c，和是 b

   方法x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

   另一種做法：畫十字3x + (−5x) = −2x

6. 6十字相乘：二次項係數不是 1拆 a 和 c，交叉相乘之和要是 b

   方法2x² + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)

   另一種做法：拆開中間項2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + (x + 3)

7. 7用立方和與立方差因式分解先抽公因式，再寫成 a³ ± b³，a²、ab、b² 整項計

   方法8x³ − 27y³ = (2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²)

   另一種做法：代入數值驗算x = 1：2 − 54 = −52，2 × (−2) × 13 = −52

例題

來自這個課題的不同技巧。先自己想一想，再打開看答案和步驟。

1. 例題 1提公因式 →

   24x + 20 = 4(x + )

   填上每個空格

   ▶看答案和步驟

   答案：6，5

   24 和 20 的 H.C.F. 是 4：24x ÷ 4 = 6x，20 ÷ 4 = 5。

2. 例題 2分組分解 →

   xy + x + 5y + 5 = x(y + ) + (y + 1)

   填上每個空格

   ▶看答案和步驟

   答案：1，5

   xy + x = x(y + 1)，5y + 5 = 5(y + 1)：兩組的括號一樣。

3. 例題 3用立方和與立方差因式分解 →

   x³ − 216 可以分解為 (x + 6)(x² − 6x + 36)。

   判斷對錯

   ▶看答案和步驟

   答案：錯

   (x + 6)(x² − 6x + 36) = x³ + 216，是立方和；x³ − 216 要分解為 (x − 6)(x² + 6x + 36)。