多項式與恆等式｜13–14 歲（中二）
立方和與立方差恆等式
第一個括號同號，中間項反號，最後一項加。
立方和與立方差恆等式的方法
方法
第一個括號同號，中間項反號，最後一項加
(x + 2)(x2 − 2x + 4) = x3 + 8
另一種做法
逐項相乘
x3 − 2x2 + 4x + 2x2 − 4x + 8 = x3 + 8
詳細講解
兩條恆等式：a3 + b3 ≡ (a + b)(a2 − ab + b2)，a3 − b3 ≡ (a − b)(a2 + ab + b2)。記符號：第一個括號的符號和原式相同；第二個括號的中間項 ab 符號相反；最後的 b2 一定是加號。用逐項相乘就看到為甚麼：(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 − a2b + ab2 + a2b − ab2 + b3，中間四項兩兩抵消，只剩 a3 + b3。要先認出立方：8 = 23、27 = 33、64 = 43、125 = 53，8x3 = (2x)3。小心：立方和不是和的立方，(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3，多了中間兩項。也可以用來速算：73 − 33 = (7 − 3)(49 + 21 + 9) = 4 × 79 = 316。另一種做法是直接計算 343 − 27 = 316，答案一樣。
例題
先自己想一想，再打開看答案和步驟。
例題 1
(4x + 1)(16x2 − 4x + 1) = x3 +
填上每個空格
看答案和步驟
答案：64，1
a = 4x，b = 1：第二個括號正是 a2 − ab + b2，所以積是 (4x)3 + 13 = 64x3 + 1。
例題 2
64x3 − 27y3 = (x)3 − (y)3
填上每個空格
看答案和步驟
答案：4，3
64 = 4 × 4 × 4 = 43，27 = 33，所以 64x3 = (4x)3，27y3 = (3y)3。
例題 3
63 + 43 可以被 10 整除。
判斷對錯
看答案和步驟
答案：對
63 + 43 = (6 + 4)(62 − 6 × 4 + 42)，所以一定可以被 10 整除；而 63 + 43 = 280。
試做練習題
先試做 5 題，答案在最後。想要整份練習卷，看下面的 VIP 練習卷。
1.(x + 7)(x2 − 7x + 49) = x3 +
答：
2.展開 (x − 4)(x2 + 4x + 16)，結果是甚麼？
- A. x3 + 64
- B. x3 − 64
- C. x3 − 16
- D. x3 − 12x2 + 48x − 64
選出正確答案
答：
3.(x + 9)(x2 + 9x + 81) = x3 + 729 對任何 x 都成立。
判斷對錯
答：
4.103 + 53 可以被 16 整除。
判斷對錯
答：
5.(x + 7)3 − (x3 + 343) = x2 + x
填上每個空格
答：
全部答案
- 1. 343
- 2. B. x3 − 64
- 3. 錯
- 4. 錯
- 5. 21，147
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