多項式與恆等式

這個課題的技巧和方法（由淺入深）

1. 1多項式的概念符號跟着後面的項；次數看最高那一項

   方法4x³ − 2x + 7：三項，x 的係數 −2，次數 3

   另一種做法：改寫成全部相加4x³ + (−2x) + 7

2. 2多項式的加減減去括號，括號內每一項都變號

   方法(3x² − 2x + 5) − (x² − 4x + 1) = 2x² + 2x + 4

   另一種做法：直式對齊同類項x² 對 x²、x 對 x、常數對常數

3. 3單項式乘多項式括號外的項乘括號內每一項；同底指數相加

   方法3x(2x − 5) = 6x² − 15x

   另一種做法：長方形面積3x × 2x = 6x², 3x × 5 = 15x

4. 4多項式乘多項式每一項乘每一項，再合併同類項

   方法(x + 3)(2x − 5) = 2x² + x − 15

   另一種做法：格子法格內 2x²、−5x、6x、−15，合併得 2x² + x − 15

5. 5恆等式與方程兩邊化簡後完全一樣，才是恆等式

   方法2(x + 3) ≡ 2x + 6；2x + 6 = 10 只在 x = 2 成立

   另一種做法：代入數值找反例(x + 1)² 和 x² + 1，x = 1：4 ≠ 2

6. 6比較係數先展開排好次序，再逐項比較係數

   方法(x + 2)(x + k) ≡ x² + 7x + m：2 + k = 7，k = 5，m = 10

   另一種做法：代入方便的數值x = 0：2k = m

7. 7完全平方展開首平方、兩倍積、尾平方；別漏中間項

   方法(3x − 2)² = 9x² − 12x + 4

   另一種做法：寫成兩個括號相乘(3x − 2)(3x − 2) = 9x² − 6x − 6x + 4

8. 8平方差展開和乘差 = 平方差，中間兩項抵消

   方法(2x + 5)(2x − 5) = 4x² − 25

   另一種做法：逐項相乘4x² − 10x + 10x − 25 = 4x² − 25

9. 9立方和與立方差恆等式第一個括號同號，中間項反號，最後一項加

   方法(x + 2)(x² − 2x + 4) = x³ + 8

   另一種做法：逐項相乘x³ − 2x² + 4x + 2x² − 4x + 8 = x³ + 8

例題

來自這個課題的不同技巧。先自己想一想，再打開看答案和步驟。

1. 例題 1多項式的概念 →

   多項式 9x⁴ + 7x³y² − 9 的次數是 。

   ▶看答案和步驟

   答案：5

   9x⁴ 是 4 次；7x³y² 是 3 + 2 = 5 次；常數項是 0 次。多項式的次數是最高那一項的次數。

2. 例題 2恆等式與方程 →

   要令 5(x − 9) = 5x − k 成為恆等式，k = 。

   ▶看答案和步驟

   答案：45

   展開左邊：5x − 45。兩邊要完全一樣，所以 k = 45。

3. 例題 3立方和與立方差恆等式 →

   展開 (x − 5)(x² + 5x + 25)，結果是甚麼？

   • A. x³ − 15x² + 75x − 125
   • B. x³ + 125
   • C. x³ − 25
   • D. x³ − 125

   選出正確答案

   ▶看答案和步驟

   答案：D. x³ − 125

   立方差恆等式：(x − 5)(x² + 5x + 25) = x³ − 5³ = x³ − 125。