代數式｜13–14 歲（中二）
立方和與立方差恆等式工作紙
屬於：多項式與恆等式
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立方和與立方差恆等式工作紙
代數式｜13–14 歲（中二）
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姓名：日期：得分：／48
請在空位寫上答案。應用題要列式計算，並寫出答句。
一、計算及填充（每題 2 分）
1.(x + 3)(x2 − 3x + 9) = x3 +
答：
2.27x3 − 8y3 = (x)3 − (y)3
填上每個空格
答：
3.(2x + 5)(4x2 − 10x + 25) = x3 +
填上每個空格
答：
4.利用立方差速算：53 − 23 = (5 − 2) ×
答：
5.(2x + 9)(4x2 − 18x + 81) = x3 +
填上每個空格
答：
6.(x + 3)3 − (x3 + 27) = x2 + x
填上每個空格
答：
7.(x + 9)3 − (x3 + 729) = x2 + x
填上每個空格
答：
二、選擇及判斷（每題 2 分）
8.展開 (x − 5)(x2 + 5x + 25)，結果是甚麼？
- A. x3 − 15x2 + 75x − 125
- B. x3 + 125
- C. x3 − 25
- D. x3 − 125
選出正確答案
答：
9.(x + 2)(x2 − 2x + 4) = x3 + 8 對任何 x 都成立。
判斷對錯
答：
10.(x + 3)(x2 + 3x + 9) = x3 + 27 對任何 x 都成立。
判斷對錯
答：
11.93 + 83 可以被 18 整除。
判斷對錯
答：
12.153 + 73 可以被 23 整除。
判斷對錯
答：
三、應用題（每題 4 分）
13.一個邊長 x cm 的立方體和一個邊長 3 cm 的立方體，總體積是 (x3 + 27) cm3 = (x + 3)(x2 − 3x + 9) cm3。當 x = 10 時，第二個因式的值是 ，總體積是 cm3。
填上每個空格
列式計算：
答：
14.一個邊長 11 cm 的實心立方體木塊，切去一個邊長 7 cm 的立方體。以下哪一條算式等於剩下的體積（cm3）？
- A. 43
- B. 4 × 247
- C. 4 × 93
- D. 4 × 170
選出正確答案
列式計算：
答：
15.證明 (x − 3)(x2 + 3x + 9) ≡ x3 − 27。把以下步驟排成正確次序。
- A. = x3 − 27
- B. 左邊 = x(x2 + 3x + 9) − 3(x2 + 3x + 9)
- C. = 右邊
- D. = x3 + 3x2 + 9x − 3x2 − 9x − 27
按正確次序寫出英文字母
列式計算：
答：
16.志強說：(x + 6)(x2 − 6x + 36) = x3 + 216。
判斷對錯
列式計算：
答：
17.兩個實心立方體金屬塊的邊長分別是 13 cm 和 7 cm。利用 a3 − b3 ≡ (a − b)(a2 + ab + b2) 計算，兩者的體積相差 cm3。
列式計算：
答：
18.兩個實心立方體金屬塊的邊長分別是 10 cm 和 8 cm。利用 a3 − b3 ≡ (a − b)(a2 + ab + b2) 計算，兩者的體積相差 cm3。
列式計算：
答：
看答案和詳細步驟
立方和與立方差恆等式工作紙・答案及詳解
一、計算及填充
1. 27
這是立方和，a = x，b = 3：x3 + 33 = x3 + 27。逐項相乘也一樣：−3x2 和 +3x2、+9x 和 −9x 互相抵消。
2. 3，2
27 = 3 × 3 × 3 = 33，8 = 23，所以 27x3 = (3x)3，8y3 = (2y)3。
3. 8，125
a = 2x，b = 5：第二個括號正是 a2 − ab + b2，所以積是 (2x)3 + 53 = 8x3 + 125。
4. 39
a3 − b3 ≡ (a − b)(a2 + ab + b2)：第二個因式是 52 + 5 × 2 + 22 = 39。
5. 8，729
a = 2x，b = 9：第二個括號正是 a2 − ab + b2，所以積是 (2x)3 + 93 = 8x3 + 729。
6. 9，27
(x + 3)3 = x3 + 9x2 + 27x + 27，比 x3 + 27 多了中間兩項 9x2 + 27x：立方和不是和的立方。
7. 27，243
(x + 9)3 = x3 + 27x2 + 243x + 729，比 x3 + 729 多了中間兩項 27x2 + 243x：立方和不是和的立方。
二、選擇及判斷
8. D. x3 − 125
立方差恆等式：(x − 5)(x2 + 5x + 25) = x3 − 53 = x3 − 125。
9. 對
a3 + b3 ≡ (a + b)(a2 − ab + b2)：第二個括號的中間項是 −2x，和第一個括號的符號相反。
10. 錯
a3 + b3 ≡ (a + b)(a2 − ab + b2)：第二個括號的中間項是 −3x，和第一個括號的符號相反。
11. 錯
93 + 83 = (9 + 8)(92 − 9 × 8 + 82)，所以一定可以被 17 整除；而 93 + 83 = 1241。
12. 錯
153 + 73 = (15 + 7)(152 − 15 × 7 + 72)，所以一定可以被 22 整除；而 153 + 73 = 3718。
三、應用題
評分：列式 2 分、答案 1 分、答句 1 分。
13. 79，1027
102 − 3 × 10 + 9 = 79；總體積 = (10 + 3) × 79 = 1027，和 103 + 27 一樣。
14. B. 4 × 247
剩下的體積 = 113 − 73 = (11 − 7)(112 + 11 × 7 + 72) = 4 × 247 = 988。
15. B → D → A → C
先用分配律拆開，再逐項相乘；3x2 和 9x 兩對互相抵消，剩下 x3 − 27，就是右邊。
16. 對
第二個括號的中間項要和第一個括號的符號相反：(x + 6)(x2 − 6x + 36) = x3 + 216，(x − 6)(x2 + 6x + 36) = x3 − 216。
17. 1854
133 − 73 = (13 − 7)(132 + 13 × 7 + 72) = 6 × 309 = 1854。
18. 488
103 − 83 = (10 − 8)(102 + 10 × 8 + 82) = 2 × 244 = 488。
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