奇數 n = 3：(n^2 − 1) ÷ 2 = □，(n^2 + 1) ÷ 2 = □。這三個數組成一組畢氏三元數。填上每個空格

4，5。3^2 = 9，(9 − 1) ÷ 2 = 4，(9 + 1) ÷ 2 = 5；4 和 5 相差 1，5^2 − 4^2 = 5 + 4 = 9 = 3^2。

下面哪一組是畢氏三元數？ A. 21, 22, 30 B. 20, 21, 30 C. 20, 21, 29 D. 20, 22, 30 選出正確答案

C. 20, 21, 29。20^2 + 21^2 = 841 = 29^2。乘以同一個數才保持三元數，加上同一個數不會。

一組畢氏三元數中，最小的數是單數 17，另外兩個數相差 1。最大的數是多少？

145。設另外兩個數是 y 和 y + 1：(y + 1)^2 − y^2 = 2y + 1 = 17^2 = 289，y = 144，最大的數是 145。

畢氏定理｜13–14 歲（中二）

畢氏三元數

m² − n²、2mn、m² + n²；或奇數 n、(n² − 1) ÷ 2、(n² + 1) ÷ 2。

畢氏三元數的方法

方法

m^2 − n^2、2mn、m^2 + n^2；或奇數 n、(n^2 − 1) ÷ 2、(n^2 + 1) ÷ 2

m = 3、n = 2：5、12、13

另一種做法

奇數規律

n = 7：7、24、25

詳細講解

三個正整數 a、b、c 符合 a² + b² = c²，就叫一組畢氏三元數，例如 3、4、5，5、12、13，8、15、17，7、24、25。一組三元數的倍數也是三元數：3、4、5 乘以 k，得 3k、4k、5k。要產生新的三元數，可以取兩個正整數 m > n：a = m² − n²，b = 2mn，c = m² + n²。m = 3、n = 2：a = 9 − 4 = 5，b = 12，c = 9 + 4 = 13，檢查 5² + 12² = 169 = 13²。另一種方法：對任何大於 1 的奇數 n，n、(n² − 1) ÷ 2、(n² + 1) ÷ 2 是一組三元數，後兩個數相差 1；n = 7：(49 − 1) ÷ 2 = 24，(49 + 1) ÷ 2 = 25，得 7、24、25。

例題

先自己想一想，再打開看答案和步驟。

例題 1
奇數 n = 3：(n² − 1) ÷ 2 = ，(n² + 1) ÷ 2 = 。這三個數組成一組畢氏三元數。
填上每個空格
看答案和步驟
答案：4，5
3² = 9，(9 − 1) ÷ 2 = 4，(9 + 1) ÷ 2 = 5；4 和 5 相差 1，5² − 4² = 5 + 4 = 9 = 3²。
例題 2
下面哪一組是畢氏三元數？
- A. 21, 22, 30
- B. 20, 21, 30
- C. 20, 21, 29
- D. 20, 22, 30
選出正確答案
看答案和步驟
答案：C. 20, 21, 29
20² + 21² = 841 = 29²。乘以同一個數才保持三元數，加上同一個數不會。
例題 3
一組畢氏三元數中，最小的數是單數 17，另外兩個數相差 1。最大的數是多少？
看答案和步驟
答案：145
設另外兩個數是 y 和 y + 1：(y + 1)² − y² = 2y + 1 = 17² = 289，y = 144，最大的數是 145。

試做練習題

先試做 5 題，答案在最後。想要整份練習卷，看下面的 VIP 練習卷。

1.24、45、52 是一組畢氏三元數。
判斷對錯
答：
2.奇數 n = 5：(n² − 1) ÷ 2 = ，(n² + 1) ÷ 2 = 。這三個數組成一組畢氏三元數。
填上每個空格
答：
3.用 m = 4、n = 3 產生畢氏三元數：m² − n² = ，2mn = ，m² + n² = 。
填上每個空格
答：
4.32、60 和另一個數組成一組畢氏三元數，那個數是三個數中最大的。它是多少？
答：
5.一組畢氏三元數中，最小的數是單數，另外兩個數相差 1，最大的數是 85。最小的數是多少？
答：

全部答案

1. 錯
2. 12，13
3. 7，24，25
4. 68
5. 13

免費工作紙：畢氏三元數計算、選擇和應用題，附答案和步驟，可以列印或儲存成 PDF

VIP 練習筆記及模擬測驗

對準校內測驗和考試，按課題出題，每次都是新的一份，可以列印或儲存成 PDF。

練習筆記：重點、例題連步驟，再跟住做同類題目，由有提示到自己做
模擬測驗：像校內卷一樣分部計分，附答案、評分和詳細解釋

開始玩在中學世界「星河宇宙」邊玩邊學：動畫示範、打怪練習、錯題重溫