幾何與證明｜13–14 歲（中二）

畢氏三元數工作紙

屬於：畢氏定理

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幾何與證明｜13–14 歲（中二）

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請在空位寫上答案。應用題要列式計算，並寫出答句。

1.3、4、5 是畢氏三元數，它們的 4 倍、、也是畢氏三元數。
填上每個空格
答：
2.畢氏三元數 6、y、10 中，y 在中間（6 < y < 10）。y 是多少？
答：
3.5、12 和另一個數組成一組畢氏三元數，那個數是三個數中最大的。它是多少？
答：
4.奇數 n = 15：(n² − 1) ÷ 2 = ，(n² + 1) ÷ 2 = 。這三個數組成一組畢氏三元數。
填上每個空格
答：
5.用 m = 7、n = 2 產生畢氏三元數：m² − n² = ，2mn = ，m² + n² = 。
填上每個空格
答：
6.用 m、n（m > n）產生的畢氏三元數中，m² − n² = 77，m² + n² = 85。所以 m² = ，n² = ，m = ，n = 。
填上每個空格
答：
7.一組畢氏三元數中，最小的數是單數 3，另外兩個數相差 1。最大的數是多少？
答：
8.一組畢氏三元數中，最小的數是單數，另外兩個數相差 1，最大的數是 61。最小的數是多少？
答：
9.一組畢氏三元數中，最小的數是單數 25，另外兩個數相差 1。最大的數是多少？
答：
10.一組畢氏三元數中，最小的數是單數，另外兩個數相差 1，最大的數是 181。最小的數是多少？
答：

13.子晴要用三條木條造一個直角三角形框架，三條的長度都是整數 cm。最短的一條長 3 cm，另外兩條相差 1 cm。另外兩條長 cm 和 cm。
填上每個空格
列式計算：
答：
14.一個程式輸入 m = 7、n = 3，輸出 m² − n²、2mn 和 m² + n²，即、和。這三個數的和是。
填上每個空格
列式計算：
答：
15.直角三角形的兩條直角邊長 56 cm 和 192 cm。斜邊長多少 cm？
列式計算：
答：
16.子軒把一條長 150 cm 的鐵線屈成三角形，三邊長之比是 5 : 12 : 13。最長的一邊長多少 cm？
列式計算：
答：
17.驗證 32、60、68 是一組畢氏三元數：把步驟排好。
- A. 32² + 60² = 1024 + 3600
- B. = 68²
- C. = 4624
按正確次序寫出英文字母
列式計算：
答：
18.一個直角三角形的三邊都是整數 cm，最短的一邊長 6 cm，另外兩邊相差 2 cm。斜邊長多少 cm？
列式計算：
答：

看答案和詳細步驟

畢氏三元數工作紙・答案及詳解

1. 12，16，20
每個數都乘以 4：(4 × 3)² + (4 × 4)² = 4² × (3² + 4²) = 4² × 5² = (4 × 5)²。
2. 8
y² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64，y = 8。
3. 13
5² + 12² = 169 = 13²，所以是 13。
4. 112，113
15² = 225，(225 − 1) ÷ 2 = 112，(225 + 1) ÷ 2 = 113；112 和 113 相差 1，113² − 112² = 113 + 112 = 225 = 15²。
5. 45，28，53
49 − 4 = 45，2 × 7 × 2 = 28，49 + 4 = 53；檢查 45² + 28² = 53²。
6. 81，4，9，2
兩式相加：2m² = 77 + 85 = 162，m² = 81；兩式相減：2n² = 85 − 77 = 8，n² = 4。所以 m = 9，n = 2。
7. 5
設另外兩個數是 y 和 y + 1：(y + 1)² − y² = 2y + 1 = 3² = 9，y = 4，最大的數是 5。
8. 11
設最小的數是 n。由奇數規律，61 = (n² + 1) ÷ 2，所以 n² = 2 × 61 − 1 = 121，n = 11；另外兩個數是 60 和 61。
9. 313
設另外兩個數是 y 和 y + 1：(y + 1)² − y² = 2y + 1 = 25² = 625，y = 312，最大的數是 313。
10. 19
設最小的數是 n。由奇數規律，181 = (n² + 1) ÷ 2，所以 n² = 2 × 181 − 1 = 361，n = 19；另外兩個數是 180 和 181。

評分：列式 2 分、答案 1 分、答句 1 分。

13. 4，5
兩條相差 1 的邊，平方相差 y + (y + 1) = 3² = 9：y = (9 − 1) ÷ 2 = 4，另一條 5。
14. 40，42，58，140
40、42、58，和是 140；它們是畢氏三元數：40² + 42² = 58²。
15. 200 cm
56 和 192 是 7 和 24 的 8 倍，7、24、25 是三元數，所以斜邊是 25 × 8 = 200 cm，不用計很大的平方。
16. 65 cm
共 5 + 12 + 13 = 30 份，每份 150 ÷ 30 = 5 cm，最長邊 13 × 5 = 65 cm（它對着直角，因為 5、12、13 是三元數）。
17. A → C → B
先把兩個較小的數平方相加，得 4624，再看它是不是最大的數的平方：68² = 4624，是三元數。
18. 10 cm
設另外兩邊是 y 和 y + 2：(y + 2)² − y² = 4y + 4 = 6²，y + 1 = 9，所以兩邊是 8 和 10，斜邊 10 cm。

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