畢氏定理

這個課題的技巧和方法（由淺入深）

1. 1求斜邊斜邊在直角對面；c² = a² + b²，再開方

   方法6² + 8² = 100, 100 = 10

   另一種做法：三元數的倍數6、8 = 2 × (3、4)，斜邊 = 2 × 5 = 10

2. 2求直角邊求直角邊用減：b² = c² − a²

   方法13² − 5² = 144, 144 = 12

   另一種做法：平方差13² − 5² = (13 + 5)(13 − 5) = 18 × 8 = 144

3. 3畢氏定理的逆定理兩短邊平方和 = 最長邊平方 ⇒ 直角在最長邊對面

   方法9² + 12² = 225 = 15²

   另一種做法：先約簡9、12、15 ÷ 3 = 3、4、5

4. 4畢氏定理的應用先找直角三角形和斜邊，再決定加或減

   方法梯長 13 m，腳離牆 5 m：高 = 13² − 5² = 12 m

   另一種做法：找隱藏的三元數5、?、13 → 5、12、13

5. 5畢氏三元數m² − n²、2mn、m² + n²；或奇數 n、(n² − 1) ÷ 2、(n² + 1) ÷ 2

   方法m = 3、n = 2：5、12、13

   另一種做法：奇數規律n = 7：7、24、25

例題

來自這個課題的不同技巧。先自己想一想，再打開看答案和步驟。

1. 例題 1求斜邊 →

   圖中的 △ABC 是直角三角形。哪一條邊是斜邊？

   • A. AB
   • B. CA
   • C. 沒有斜邊
   • D. BC

   選出正確答案

   ▶看答案和步驟

   答案：D. BC

   先找直角（有小方格的角），它對面、不連着這個頂點的邊就是斜邊，也是最長的邊。

2. 例題 2畢氏定理的逆定理 →

   三條邊長 36 cm、15 cm 和 39 cm 的三角形是直角三角形。直角對面的邊長多少 cm？

   ▶看答案和步驟

   答案：39 cm

   直角對着最長的邊：36² + 15² = 1521 = 39²，所以是 39 cm。

3. 例題 3畢氏三元數 →

   7、24、25 是畢氏三元數，它們的 9 倍 、、 也是畢氏三元數。

   填上每個空格

   ▶看答案和步驟

   答案：63，216，225

   每個數都乘以 9：(9 × 7)² + (9 × 24)² = 9² × (7² + 24²) = 9² × 25² = (9 × 25)²。