小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
時鐘問題奧數題目：例題 8
這道時鐘問題奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。華夏盃由小一的經過時間，到小六的時針分針夾角，各級的卷都有時鐘題。
題目
一個指針鐘走得很準。
由上午3時正到同一天下午1時20分（包括開始和結束的一刻），
時針和分針剛好以鐘面上「12」和「6」的連線為對稱軸、左右對稱（像照鏡一樣），
一共有多少次？
（兩針重疊在對稱軸上也算。）
一共有多少次？
看提示（3 個）
- 提示 1：把兩針的位置都用「由 12 順時針量的角度」表示。兩針以「12」和「6」的連線對稱時，兩個角度有甚麼關係？
- 提示 2：對稱時，時針的角度 + 分針的角度 = 360°（或 720°……）。分針每分鐘走 6°，時針走 1/2°，兩個角度之和每分鐘增加多少？
- 提示 3：兩個角度之和由 90° 增加到 4120°（每分鐘增加 13/2°）。數一數其間有多少個 360 的倍數。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.由 12 順時針量角度。兩針以「12」和「6」的連線為對稱軸時，它們和這條線的夾角相等、方向相反，所以 時針角度 + 分針角度 = 360°（再加若干個 360°）。
- 2.開始（上午 3 時正）：分針 0°，時針 90 + 0 ÷ 2 = 90°，和是 90°。
- 3.兩針的角度之和每分鐘增加 6 + 1/2 = 13/2°。到下午 1 時 20 分共 620 分鐘，增加 620 × 13 ÷ 2 = 4030°，和由 90° 增加到 4120°。
- 4.其間（包括兩端）的 360 的倍數：360°、720°……3960°，共 (3960 − 360) ÷ 360 + 1 = 11 次。
- ⚠️常見錯誤：以為和「重疊」一樣每 12 小時 11 次——重疊看的是兩個角度之差，增加得慢（每分鐘 11/2°）；對稱看的是兩個角度之和，增加得快（每分鐘 13/2°），每 12 小時有 13 次。另外要小心開始和結束的一刻是否剛好是其中一次。
答案：11 次
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