小學奧數題目｜小四★★★★ 極難
爬井問題奧數題目：例題 7
這道爬井問題奧數題屬極難程度，適合小四，附逐步圖解和答案。比賽卷較少直接出現，卻是訓練「最後一步要分開想」的經典思維題，適合低年級。
題目
一隻蝸牛由井底開始向上爬。
第1天日間，牠向上爬了74厘米；
牠越爬越累，
以後每天日間都比前一天少爬3厘米。
每天晚上，牠都會向下滑17厘米。
只要日間爬到井口，蝸牛就出了井。
井深是整數厘米。井最深可以是多少厘米，蝸牛仍然能夠爬出井口？
看提示（3 個）
- 提示 1：蝸牛能不能爬出，要看牠每天日間最高爬到哪裏。這個「最高點」會不會一直升高？
- 提示 2：比較相鄰兩天日間的最高點：第二天的最高點比第一天高（或低）多少？和那一晚滑下的 17 厘米有甚麼關係？
- 提示 3：只要第二天日間爬的多於 17 厘米，最高點就會升高。日間爬的依次是 74、71、68……厘米；最後一天爬得不少於 17 厘米的是第 20 天。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.第 k 天日間的最高點 = 前 k − 1 天「日間爬的 − 晚上滑的」之和 + 第 k 天日間爬的。
- 2.第 k + 1 天的最高點比第 k 天：多了第 k 晚的 −17，又把第 k 天的爬升換成第 k + 1 天的。即相差「第 k + 1 天爬的 − 17」。所以只要第二天日間爬的多於 17 厘米，最高點就升高；少於 17 厘米，最高點就下降。
- 3.日間爬的：74、71、68……每天少 3 厘米。第 20 天爬 74 − 19 × 3 = 17 厘米，剛好等於 17；第 21 天只爬 14 厘米，少於 17。所以最高點在第 20 天（第 19 天也一樣高）最高，之後只會下降。
- 4.第 20 天的最高點 = 前 20 天日間爬的總和 − 前 19 晚滑的總和 = (74 + 17) × 20 ÷ 2 − 19 × 17 = 910 − 323 = 587 厘米。
- 5.蝸牛最高只能到 587 厘米，所以井最深是 587 厘米；再深一厘米，牠就永遠爬不出。
- 6.驗算：第 19 天最高點 587，第 20 天 587，第 21 天 584 ✓
- ⚠️常見錯誤：以為「日間爬的少於晚上滑的」那天才開始下降，於是多算了一天；或者把第 20 天晚上的 17 厘米也減去了——出井只看日間爬到的最高點。
答案：587 厘米
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