因式分解｜13–14 歲（中二）
用完全平方因式分解
首尾是平方，中間是兩倍之積。
用完全平方因式分解的方法
方法
首尾是平方，中間是兩倍之積
x2 − 10x + 25 = (x − 5)2
另一種做法
展開驗算
(x − 5)2 = x2 − 10x + 25
詳細講解
把完全平方恆等式倒過來用：a2 + 2ab + b2 ≡ (a + b)2，a2 − 2ab + b2 ≡ (a − b)2。先看首項和尾項是不是平方（x2 = x2，25 = 52），再看中間項是不是兩者之積的兩倍：x2 − 10x + 25 的中間 10x = 2 × x × 5，所以是 (x − 5)2，中間的符號就是括號內的符號。4x2 + 12x + 9：4x2 = (2x)2，9 = 32，12x = 2 × 2x × 3，所以是 (2x + 3)2。中間項不是兩倍之積（例如 x2 + 5x + 25）就不是完全平方。也可以展開答案驗算，答案一樣。
例題
先自己想一想，再打開看答案和步驟。
例題 1
x2 + 4x + 4 = (x + )2
看答案和步驟
答案：2
4 = 22，而且中間的 4x = 2 × x × 2，所以是 (x + 2)2。
例題 2
把 x2 − 4x + 4 因式分解，結果是甚麼？
- A. (x − 4)2
- B. (x + 2)(x − 2)
- C. (x − 2)2
- D. (x + 2)2
選出正確答案
看答案和步驟
答案：C. (x − 2)2
首尾 x2 和 4 = 22 是平方，中間 4x = 2 × x × 2，符號是減：(x − 2)2。
例題 3
25x2 + 70x + 49 = (x + )2
填上每個空格
看答案和步驟
答案：5，7
25x2 = (5x)2，49 = 72，中間 70x = 2 × 5x × 7，所以是 (5x + 7)2。
試做練習題
先試做 5 題，答案在最後。想要整份練習卷，看下面的 VIP 練習卷。
1.x2 + 12x + 144 是一個完全平方式。
判斷對錯
答：
2.4x2 − 72x + 324 = (x − )2
填上每個空格
答：
3.9x2 + 24x + 16 = (x + )2
填上每個空格
答：
4.9x2 + kx + 25 是完全平方式，而 k 是正數，k = 。
答：
5.x2 + 6x + k 是完全平方式，k = 。
答：
全部答案
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- 2. 4，9
- 3. 3，4
- 4. 30
- 5. 9
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