三角學（一）｜13–14 歲（中二）
三角比隨角度的變化
θ 增大：sin、tan 增大，cos 減小；sin、cos 在 0 和 1 之間。
三角比隨角度的變化的方法
方法
θ 增大：sin、tan 增大，cos 減小；sin、cos 在 0 和 1 之間
cos 20° > cos 55° > cos 80°
另一種做法
用計算機逐個求值
0.940 > 0.574 > 0.174
詳細講解
把直角三角形的斜邊固定為 1，讓銳角 θ 由 0° 慢慢增大：對邊越來越長、鄰邊越來越短，所以 sin θ 隨 θ 增大，cos θ 隨 θ 減小，tan θ = 對邊 ÷ 鄰邊也隨 θ 增大。斜邊是最長的邊，所以銳角的 sin θ 和 cos θ 一定在 0 和 1 之間，不會等於 1.2；tan θ 卻可以大於 1（θ 大於 45° 時）。不用計算機也可以比較：cos 20° > cos 55° > cos 80°，因為角越大，cos 越小。小心：三角比不能「分開」計算，sin 20° + sin 40° ≈ 0.342 + 0.643 = 0.985，但 sin 60° ≈ 0.866，所以 sin 20° + sin 40° ≠ sin 60°；同樣 2 sin 30° ≠ sin 60°。另一種做法：用計算機逐個求值再比較，例如 cos 20° ≈ 0.940、cos 55° ≈ 0.574、cos 80° ≈ 0.174。
例題
先自己想一想，再打開看答案和步驟。
例題 1
θ 是銳角。θ 由 22° 增大至 53° 時，cos θ 的值怎樣變化？
- A. 先增大，後減小
- B. 增大
- C. 減小
- D. 不變
選出正確答案
看答案和步驟
答案：C. 減小
把斜邊固定，θ 由 22° 增大至 53°：鄰邊越來越短，所以 cos θ = 鄰邊 ÷ 斜邊一直減小。
例題 2
用計算機，準確至四位小數：sin 36° + sin 15° ≈ ，sin 51° ≈ 。
填上每個空格
看答案和步驟
答案：0.8466，0.7771
sin 36° + sin 15° ≈ 0.8466，sin 51° ≈ 0.7771：兩者不相等。三角比不能分開計：sin(36° + 15°) ≠ sin 36° + sin 15°。
例題 3
θ 是銳角，cos θ = 11n，n 是不大於 35 的正整數。n 可以有多少個不同的值？
看答案和步驟
答案：24
銳角的 cos θ 在 0 和 1 之間：11n < 1，所以 n 要大於 11；n 可以是 11 + 1 至 35，共 35 − 11 個。
試做練習題
先試做 5 題，答案在最後。想要整份練習卷，看下面的 VIP 練習卷。
1.可以有一個銳角 θ，cos θ = 0.5。
判斷對錯
答：
2.不用計算機也知道：sin 18° 比 sin 71° 大。
判斷對錯
答：
3.不用計算機，下面哪一個的值最大？
- A. cos 83°
- B. cos 30°
- C. cos 11°
- D. cos 47°
選出正確答案
答：
4.θ 是銳角，tan θ = 0.9，所以 θ 大於 45°。
判斷對錯
答：
5.不用計算機：θ = 57° 時，sin θ、cos θ、tan θ 由大至小怎樣排？
- A. tan θ > sin θ > cos θ
- B. cos θ > sin θ > tan θ
- C. sin θ > tan θ > cos θ
- D. sin θ > cos θ > tan θ
選出正確答案
答：
全部答案
- 1. 對
- 2. 錯
- 3. C. cos 11°
- 4. 錯
- 5. A. tan θ > sin θ > cos θ
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