數字謎奧數題目：例題 8

詳解

先自己想一想，再看下面的逐步詳解。

1. 1.由 a 開始的 b 個數 = b 個 a + (0 + 1 + … + (b − 1))，所以 a ※ b = a × b + b × (b − 1) ÷ 2；同樣 b ※ a = a × b + a × (a − 1) ÷ 2。
2. 2.兩式相減，a × b 抵消：390 − 245 = [b × (b − 1) − a × (a − 1)] ÷ 2 = (b − a) × (a + b − 1) ÷ 2，所以 (b − a) × (a + b − 1) = 290。
3. 3.b − a 和 a + b 同單同雙（相差 2a），所以 b − a 和 a + b − 1 一單一雙，而且 b − a 較小。290 的這種分法有：1 × 290、2 × 145、5 × 58、10 × 29。
4. 4.逐一試：b − a = 1、a + b = 291 → a = 145、b = 146，a ※ b = 31755，不合；b − a = 2、a + b = 146 → a = 72、b = 74，a ※ b = 8029，不合；b − a = 5、a + b = 59 → a = 27、b = 32，a ※ b = 1360，不合；b − a = 10、a + b = 30 → a = 10、b = 20，a ※ b = 390 ✓。
5. 5.所以 a = 10，b = 20。
6. 6.驗算：10 ※ 20 = 10 × 20 + 20 × 19 ÷ 2 = 390 ✓；20 ※ 10 = 10 × 20 + 10 × 9 ÷ 2 = 245 ✓
7. ⚠️常見錯誤：以為 a ※ b 和 b ※ a 一樣（※ 不能交換次序）；或者分解 290 時漏了某種分法，只找到一組就停下，沒有用 a ※ b = 390 核對。

答案：20