小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
數圖形奧數題目：例題 8
這道數圖形奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。華夏盃由小一到小六的卷中都有數圖形的題目，難處在不重複、不遺漏。
題目
三角形 ABC 的邊 AB 上有3個點，
邊 BC 上有5個點，邊 CA 上有3個點，
一共11個點，如圖。
這些點都不是頂點，
三個頂點 A、B、C 不算在內。
四個點之中，只要沒有三點在同一直線上，
就可以連成一個四邊形；
每組四個點只算一個四邊形。
以這 11 個點中的四個點為頂點，可以畫出多少個不同的四邊形？
看提示（3 個）
- 提示 1：先算從 11 個點任選四個有多少種，再減去連不成四邊形的選法。哪些四個點連不成四邊形？
- 提示 2：有三點或四點在同一條邊上，就連不成四邊形。每條邊分開數：「四點都在這條邊上」和「恰好三點在這條邊上」。
- 提示 3：例如 AB 上有 3 個點：恰好三點在 AB 上，是在 AB 上選三點，再在其餘 8 個點中選一點。想一想：同一組四點，會不會在兩條邊上都數了一次？
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
1.從 11 個點任選四個（塗色是其中一種選法）：11 × 10 × 9 × 8 ÷ 24 = 330 種。 2.AB 上有 3 個點：三點都在 AB 上只有 1 種，再配其餘 8 點中的一點，共 8 種（例如塗色的：三點在一直線上，四點只連成三角形）。 3.BC 上有 5 個點：四點都在 BC 上有 5 種；恰好三點在 BC 上有 10 種，再配其餘 6 點中的一點：10 × 6 = 60 種（例如塗色的：三點在一直線上，四點只連成三角形）；合共 65 種。 4.CA 上有 3 個點：三點都在 CA 上只有 1 種，再配其餘 8 點中的一點，共 8 種（例如塗色的：三點在一直線上，四點只連成三角形）。 - 5.同一組四點，不可能有三點在一條邊上、又有三點在另一條邊上：兩條邊沒有共用的點，3 + 3 = 6，多於 4 點。所以沒有減重複。
- 6.四邊形一共 330 − 81 = 249 個。
- ⚠️常見錯誤：只減去四點都在同一條邊上的選法，漏了恰好三點在一條邊上的。三點在一直線上，四點只連得成三角形。
答案：249 個
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