小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
數圖形奧數題目：例題 9
這道數圖形奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。華夏盃由小一到小六的卷中都有數圖形的題目，難處在不重複、不遺漏。
題目
一張方格紙有3行，每行4格，
其中三格各畫了一個黑點，如圖：
①在第1行第3格，②在第1行第4格，
③在第2行第4格（行由上數起，格由左數起）。
圖中有多少個長方形一個黑點也不包含？（正方形也算是長方形。）
看提示（3 個）
- 提示 1：先數所有長方形，再減去含黑點的。含黑點的長方形，可能含一個、兩個或三個黑點——怎樣才不會重複減？
- 提示 2：含某幾格的長方形，必須蓋住這幾格所在的整塊範圍：左邊在它們全部的左面，右邊在全部的右面，上下也一樣。左、右、上、下各有幾條線可選，相乘就是個數。
- 提示 3：至少含一點的 = 含①、②、③的分別相加（46）− 兩點都含的三種相加（23）+ 三點都含的（6）。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.所有長方形：直線 5 條選兩條有 10 種，橫線 4 條選兩條有 6 種，共 60 個。
- 2.含一個指定的點（左 × 右 × 上 × 下的選擇）：① 3 × 2 × 1 × 3 = 18；② 4 × 1 × 1 × 3 = 12；③ 4 × 1 × 2 × 2 = 16，共 46。
- 3.含指定的兩點（要蓋住兩點所在的整塊範圍）：①② 3 × 1 × 1 × 3 = 9；①③ 3 × 1 × 1 × 2 = 6；②③ 4 × 1 × 1 × 2 = 8，共 23。
- 4.三點都含：3 × 1 × 1 × 2 = 6 個。
- 5.至少含一點：46 − 23 + 6 = 29 個（含兩點的被減了兩次，加回一次；含三點的先減三次、再加三次，要再減一次）。
- 6.一個黑點也不含：60 − 29 = 31 個。
- ⚠️常見錯誤：只減去含①、②、③的長方形，忘了含兩點的被重複減去；或者加回含兩點的之後，忘了三點都含的還要再處理一次。
答案：31 個
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