小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
植樹問題奧數題目：例題 8
這道植樹問題奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。華夏盃小二至小五的卷中常見，鋸木頭、敲鐘、排路燈都是同一類題目。
題目
學校要在一塊長方形草地上插木樁圍欄杆：
草地的四周插一圈，
另外在草地中間沿一條直線插一行，
這條直線與其中兩條邊平行，
把草地分成兩個長方形。
每兩支相鄰的木樁都相距2米；
草地的四個角、中間那條直線的兩端都要有木樁（直線兩端的木樁就是四周上的木樁）。
工人一共插了36支木樁。
這塊草地的面積最大可以是多少平方米？
看提示（3 個）
- 提示 1：四周一圈的木樁數 = 四周的段數。中間那一行有多少段？它多用了多少支木樁？
- 提示 2：設與中間那一行平行的兩條邊各有 q 段，另外兩條邊各有 p 段：四周用 2p + 2q 支，中間一行多用 q − 1 支，所以 2p + 3q = 36 + 1 = 37。
- 提示 3：面積 = p × q × 4。2p 和 3q 的和固定是 37，兩者越接近，2p × 3q（也就是 6 × p × q）越大。在 3q 接近 37 ÷ 2 的附近試幾個 q。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.四周一圈：木樁數 = 段數。中間那一行的兩端已計在四周上，所以它多用了「段數 − 1」支。
2.設與中間那一行平行的兩條邊各有 q 段，另外兩條邊各有 p 段（p 至少 2，中間才放得下一行）。木樁數 = 2p + 2q + (q − 1) = 36，即 2p + 3q = 37。 - 3.面積 = p × 2 × q × 2 = p × q × 4。因為 2p + 3q 固定，2p 和 3q 越接近，2p × 3q 越大，p × q 也越大；最好是 2p 和 3q 都接近 37 ÷ 2。
- 4.試附近的整數：q = 3、p = 14，p × q = 42；q = 5、p = 11，p × q = 55；q = 7、p = 8，p × q = 56；q = 9、p = 5，p × q = 45；q = 11、p = 2，p × q = 22。最大是 p = 8、q = 7，p × q = 56。
5.草地長 8 × 2 = 16 米、闊 7 × 2 = 14 米，面積最大 = 16 × 14 = 224 平方米。 - 6.驗算：四周 2 × (8 + 7) = 30 支，中間 7 − 1 = 6 支，共 36 支 ✓
- ⚠️常見錯誤：以為長和闊越接近越好（像只圍四周那樣）。中間那一行令 q 方向「貴」了，木樁要多分給 p 方向；另外別忘了中間一行的兩端不用另計。
答案：224 平方米
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