小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難

巧算奧數題目：例題 7

這道巧算奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。比賽卷頭幾題往往就是巧算，華夏盃小一至小六各級都有。

題目

用巧妙的方法計算下面的算式。

2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + … + 14 × 15 = ?

答案是多少？

看提示（3 個）

提示 1：試把每一項乘以 3，看看能不能寫成兩個「三個連續整數相乘」的差。例如 2 × 3 × 3 = 2 × 3 × 4 − 1 × 2 × 3。
提示 2：k × (k + 1) × 3 = k × (k + 1) × (k + 2) − (k − 1) × k × (k + 1)。把每一項都這樣寫，全部加起來，中間的會互相抵消。
提示 3：抵消後，總和 × 3 = 14 × 15 × 16 − 1 × 2 × 3。

先自己想一想，再看下面的逐步詳解。

1.每一項乘以 3：k × (k + 1) × 3 = k × (k + 1) × (k + 2) − (k − 1) × k × (k + 1)。例如 2 × 3 × 3 = 2 × 3 × 4 − 1 × 2 × 3。
2.把 2 × 3 到 14 × 15 都這樣寫，相鄰兩項中「前一項的第一個積」和「後一項的第二個積」互相抵消。
3.總和 × 3 = 14 × 15 × 16 − 1 × 2 × 3 = 3360 − 6 = 3354。
4.總和 = 3354 ÷ 3 = 1118。
⚠️常見錯誤：直接用 14 × 15 × 16 ÷ 3，那是由 1 × 2 開始加的總和，多加了 1 × 2 至 1 × 2。

答案：1118