小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
巧算奧數題目：例題 9
這道巧算奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。比賽卷頭幾題往往就是巧算，華夏盃小一至小六各級都有。
題目
已知1² +2² +3² + … + n² = n × (n +1) × (2n +1) ÷6（例如1² +2² +3² =3×4×7÷6=14）。
用這個結果，巧妙地計算下面的算式。
2² + 5² + 8² + 11² + … + 17² = ?
答案是多少？
看提示（3 個）
- 提示 1：底數 2、5、8……每次加 3，可以寫成 3 × k − 1（k = 1、2、3……）。最後一個 17 是 k 等於多少？
- 提示 2：(3 × k − 1) × (3 × k − 1) 拆開來是哪三部分？可以畫一個正方形，邊長分成 3 × k 和 1 兩段來想。
- 提示 3：(3 × k − 1)² = 9 × k² − 6 × k + 1。k 由 1 至 6，分別求 k² 之和與 k 之和。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
1.底數每次加 3：第 k 個是 3 × k − 1。最後一個 17 = 3 × 6 − 1，所以 k 由 1 至 6，共 6 項。 - 2.(3 × k − 1)² = 3 × 3 × k² − 2 × 3 × 1 × k + 1 × 1 = 9 × k² − 6 × k + 1。（正方形分成一大塊、兩條長方形和一小塊。）
- 3.1² + 2² + … + 6² = 6 × 7 × 13 ÷ 6 = 91；1 + 2 + … + 6 = 6 × 7 ÷ 2 = 21。
- 4.原式 = 9 × 91 − 6 × 21 + 1 × 6 = 819 − 126 + 6 = 699。
- ⚠️常見錯誤：以為 (3 × k − 1)² = 9 × k² + 1，漏了中間的 6 × k，得 825；或者把項數算成 (17 − 2) ÷ 3 = 5。
答案：699
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