小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
周期問題奧數題目：例題 8
這道周期問題奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。華夏盃由小一初賽到小五的卷中都有周期題，例如第幾個、星期幾和個位數字。
題目
小明和小美同時在紙上寫數字，
每人每次寫一個，兩人寫得一樣快。
小明按1、2、3的次序不斷重複寫；
小美按8、7、6、5、4、3、2、1的次序不斷重複寫。
1, 2, 3, 1, 2, 3, …8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, …
兩人第 390 次同時寫下相同的數字時，每人各寫了多少個數字？
看提示（3 個）
- 提示 1：兩人要寫多少次之後，才會再一同重新開始（小明寫 1、小美寫 8）？
- 提示 2：每 24 次是一個大循環。把一個大循環裏兩人寫的數字並排列出來：相同的是第幾次？每個大循環有多少次？
- 提示 3：一個大循環有 3 次相同。390 ÷ 3 = 130，剛好整除——想清楚第 390 次相同落在第幾個大循環。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
1.3 和 8 的最小公倍數是 24：每寫 24 次，小明又由 1 開始、小美又由 8 開始，一個大循環。 2.把一個大循環的 24 次並排列出，相同的是第 6 次（3）、第 16 次（1）、第 23 次（2），共 3 次。 - 3.390 ÷ 3 = 130，剛好整除：第 390 次相同正是第 130 個大循環的最後一次相同，即第 130 個大循環的第 23 次。
- 4.所以每人寫了 129 × 24 + 23 = 3119 個數字（那時兩人都寫 2）。
- ⚠️常見錯誤：剛好整除時，以為第 390 次相同在第 131 個大循環，答 3143；或者以為小美也由 1 開始順着寫，相同的都在大循環開頭。
答案：3119 個
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