小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
周期問題奧數題目：例題 11
這道周期問題奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。華夏盃由小一初賽到小五的卷中都有周期題，例如第幾個、星期幾和個位數字。
題目
數學學會玩「數字接龍」：
第一個數是3，第二個數是2，
之後每個數都是它前面兩個數之和，
所以頭幾個數是3、2、5、7、12、19……同學們一直寫到第1973個數。
這 1973 個數之中，有多少個除以 3 餘 1？
看提示（3 個）
- 提示 1：數字很快變得很大，不可能全部寫出來。只看每個數除以 3 的餘數，下一個餘數可以怎樣由前兩個餘數得到？
- 提示 2：把餘數逐個寫下去，直到「相鄰兩個餘數」再次是 0、2。之後會怎樣？
- 提示 3：數一數一個循環有多少個餘數，其中有多少個合乎要求、排在第幾個。1973 個數有多少個完整的循環？剩下的幾個之中，又有多少個合乎要求？
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
1.只看除以 3 的餘數：兩個數之和的餘數，等於兩個餘數之和再除以 3 的餘數，所以每個餘數都可以由前兩個餘數求出，不用寫出很大的數。 - 2.餘數依次是 0、2、2、1、0、1、1、2、0、2……第 9、10 個又是 0、2，和開頭一樣，之後便每 8 個一循環。
3.每個循環中，第 4、6、7 個除以 3 餘 1，共 3 個。 4.1973 ÷ 8 = 246 餘 5：246 個循環有 246 × 3 = 738 個；餘下的 5 個是循環的頭 5 個，有 1 個。一共 738 + 1 = 739 個。 - ⚠️常見錯誤：只看到一個餘數重複（例如又出現 0）就當作循環開始；要「相鄰兩個餘數」都和開頭一樣，之後才會完全重複。
答案：739 個
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