小學奧數題目｜小六★★★★ 極難
分數應用題奧數題目：例題 7
這道分數應用題奧數題屬極難程度，適合小六，附逐步圖解和答案。華夏盃小五、小六的晉級賽和總決賽常見，較難的有分數倒推和分數巧算。
題目
學校開放日，數學攤位準備了一批小禮物，
送給答對問題的來賓。
第1小時送出了全部禮物的二分之一；
第2小時送出了當時餘下的三分之一；
第3小時送出了當時餘下的四分之一；
第4小時送出了當時餘下的五分之一。
已知第3小時送出的禮物，
比第4小時多4份。
攤位原來準備了多少份禮物？
看提示（3 個）
- 提示 1：先不要求每小時送出了多少，改為想：每小時之後，還剩全部的幾分之幾？
- 提示 2：第 k 小時之後剩全部的 1/(k + 1)。那麼第 k 小時送出的，是全部的幾分之幾？（它是第 k 小時之前剩下的，減去之後剩下的。）
- 提示 3：第 3 小時送出全部的 1/12，第 4 小時送出全部的 1/20。兩者相差 4 份。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
1.先看每小時之後還剩全部的幾分之幾：第 1 小時之後剩 1/2；第 2 小時之後剩 1/2 × 2/3 = 1/3；第 3 小時之後剩 1/3 × 3/4 = 1/4……第 k 小時之後剩全部的 1/(k + 1)。 2.所以第 k 小時送出的 = 之前剩下的 − 之後剩下的 = 1/k − 1/(k + 1) = 1/(k × (k + 1))，是全部的幾分之一。 3.第 3 小時：全部的 1/(3 × 4) = 1/12；第 4 小時：全部的 1/(4 × 5) = 1/20。 - 4.兩者相差全部的 1/12 − 1/20 = 8/240 = 1/30，即 4 份。
- 5.全部 = 4 × 30 = 120 份。
- 6.驗算：每小時送出 60、20、10、6 份；第 3 小時比第 4 小時多 10 − 6 = 4 ✓
- ⚠️常見錯誤：以為第 k 小時送出的是全部的 1/(k + 1)，用 1/4 − 1/5 去算，答 80。除了第 1 小時，每小時的分數都是「當時餘下的」幾分之一。
答案：120 份
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