小學奧數題目｜小六★★★★ 極難
分數應用題奧數題目：例題 8
這道分數應用題奧數題屬極難程度，適合小六，附逐步圖解和答案。華夏盃小五、小六的晉級賽和總決賽常見，較難的有分數倒推和分數巧算。
題目
計算下面的算式，
並把結果寫成最簡分數 m/n（m 和 n 是正整數，除了1以外沒有其他公因數）。
1/(2 × 3 × 4) + 1/(3 × 4 × 5) + 1/(4 × 5 × 6) + … + 1/(6 × 7 × 8) = ?
m + n 等於多少？
看提示（3 個）
- 提示 1：試計算 1/(2 × 3) − 1/(3 × 4)，和第一項 1/(2 × 3 × 4) 比較。
- 提示 2：每一項都可以拆開：1/(k × (k + 1) × (k + 2)) = 1/2 × [1/(k × (k + 1)) − 1/((k + 1) × (k + 2))]。全部相加時，中間的項會互相抵消。
- 提示 3：抵消之後只剩 1/2 × [1/(2 × 3) − 1/(7 × 8)]。算好後記得約成最簡分數。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.先試第一項：1/(2 × 3) − 1/(3 × 4) = 2/(2 × 3 × 4)，剛好是第一項的 2 倍，所以第一項 = 1/2 × 這個差。
2.每一項都一樣：1/(k × (k + 1) × (k + 2)) = 1/2 × [1/(k × (k + 1)) − 1/((k + 1) × (k + 2))]。把 5 項逐一拆開，排成一行一行。 3.每一行減去的，正是下一行加上的，中間的全部抵消，只剩第一行的前一半和最後一行的後一半：原式 = 1/2 × [1/(2 × 3) − 1/(7 × 8)] = 1/2 × (1/6 − 1/56)。 - 4.1/6 − 1/56 = 28/168 − 3/168 = 25/168。
- 5.原式 = 1/2 × 25/168 = 25/336，已是最簡分數。
- 6.m + n = 25 + 336 = 361。
- ⚠️常見錯誤：忘了乘 1/2，或者以為抵消後剩下第一項和最後一項。
答案：361
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