小學奧數題目｜小六★★★★ 極難
分數應用題奧數題目：例題 11
這道分數應用題奧數題屬極難程度，適合小六，附逐步圖解和答案。華夏盃小五、小六的晉級賽和總決賽常見，較難的有分數倒推和分數巧算。
題目
計算下面的算式（加號和減號輪流出現），
並把結果寫成最簡分數 m/n（m 和 n 是正整數，除了1以外沒有其他公因數）。
3 − 5/3 + 7/6 − 9/10 … + 31/120 − 33/136 = ?
m + n 等於多少？
看提示（3 個）
- 提示 1：試把第一項 3 寫成兩個分子是 2 的分數相加。第二項呢？
- 提示 2：分母是 1 + 2 + … + k = k × (k + 1) ÷ 2 的形狀：每一項 = 2 × (2k + 1)/(k × (k + 1)) = 2 × (1/k + 1/(k + 1))。
- 提示 3：一加一減，相鄰兩項中相同的分數互相抵消，只剩第一個分數和最後一個分數。看看最後一項的 k 是多少，再把剩下的兩個分數算出來。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
1.第一項 3 = 2 × (1/1 + 1/2)。一般地，每一項 = 2 × (1/k + 1/(k + 1))，k 依次是 1、2、3……每次加 1。 - 2.最後一項 33/136 是 k = 16：2 × (1/16 + 1/17)。由 1 到 16 共 16 項，最後一項前面是「−」。
- 3.寫開來：2 × [(1/1 + 1/2) − (1/2 + 1/3) + (1/3 + 1/4) − …]，每一項的第二個分數和下一項的第一個分數一加一減，互相抵消。
- 4.只剩第一個分數和最後一個分數：原式 = 2 × (1/1 − 1/17) = 32/17。
- 5.m + n = 32 + 17 = 49。
- ⚠️常見錯誤：最後一項的正負號弄錯（16 項中第 16 項是「−」），得 1/1 + 1/17；或者以為剩下的是 1/1 和 1/16。
答案：49
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