小學奧數題目｜小六★★★★ 極難
分數應用題奧數題目：例題 10
這道分數應用題奧數題屬極難程度，適合小六，附逐步圖解和答案。華夏盃小五、小六的晉級賽和總決賽常見，較難的有分數倒推和分數巧算。
題目
計算下面的算式，
並把結果寫成最簡分數 m/n（m 和 n 是正整數，除了1以外沒有其他公因數）。
3/4 + 5/36 + 7/144 + 9/400 + … + 13/1764 = ?
m + n 等於多少？
看提示（3 個）
- 提示 1：看分母：4、36、144、400……它們都是某些數的平方相乘嗎？分子 3、5、7、9……又和平方數有甚麼關係？
- 提示 2：4 − 1 = 3，9 − 4 = 5……每一項 = ((k + 1)² − k²)/(k² × (k + 1)²)。可以拆成兩個分數相減嗎？
- 提示 3：每一項 = 1/k² − 1/(k + 1)²。把每一項都這樣拆開，中間的會互相抵消；看看最後一項的 k 是多少，剩下的兩個分數相減，再約簡。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
1.分母：4 = 1 × 4，36 = 4 × 9，144 = 9 × 16，400 = 16 × 25……即 k² × (k + 1)²；分子 3、5、7、9……是 2k + 1 = (k + 1)² − k²（例如 4 − 1 = 3）。 - 2.最後一項 13/1764：分母 1764 = 36 × 49，分子 13 = 49 − 36，即 k = 6；k 由 1 到 6。
- 3.每一項 = ((k + 1)² − k²)/(k² × (k + 1)²) = 1/k² − 1/(k + 1)²，例如 3/4 = 1/1 − 1/4。
- 4.全部相加，中間的互相抵消：原式 = 1/1 − 1/49 = 48/49。
- 5.m + n = 48 + 49 = 97。
- ⚠️常見錯誤：以為剩下的是 1/1 − 1/36，忘了最後一項帶來的是 1/49；或者看不出分子 2k + 1 正是兩個相鄰平方數之差。
答案：97
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