小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
工程問題奧數題目：例題 9
這道工程問題奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。華夏盃小三至小六的卷中常見，較難的有中途離開、輪流做和牛吃草。
題目
新界一個農莊有一片草地，
草每天都生長得一樣快，
每隻羊每天吃的草也一樣多。
這片草地上的草，
可以供8隻羊吃15天剛好吃光，
或者供6隻羊吃25天剛好吃光。
現在第1天放20隻羊在草地上，
之後每天傍晚都牽走1隻，
所以第2天有19隻、第3天有18隻……
草地上的草會在第幾天剛好被吃光？
看提示（3 個）
- 提示 1：以「1 隻羊 1 天吃的草」為 1 份。比較兩種情況，求每天新長多少份、原有多少份。
- 提示 2：每天新長 3 份：可以每天讓 3 隻專吃新長的草，其餘的羊吃原有的草。吃原有草的羊，每天少 1 隻。
- 提示 3：原有 75 份。第 1 天有 20 − 3 = 17 隻吃原有的草，之後每天少 1 隻：17 + 16 + 15 + …，加到第幾天剛好是 75？
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.設 1 隻羊 1 天吃的草為 1 份。8 隻吃 15 天共 120 份，6 隻吃 25 天共 150 份。
- 2.多出的 150 − 120 = 30 份，是 25 − 15 = 10 天新長的，所以每天新長 3 份；原有的草 = 120 − 3 × 15 = 75 份。
- 3.每天讓 3 隻羊專吃當天新長的草，草就不會增加；其餘的羊吃原有的 75 份。第 1 天吃原有草的有 20 − 3 = 17 隻，之後每天少 1 隻。
- 4.要 17 + 16 + 15 + … 剛好等於 75。連續 n 天的和 = (17 + 最後一天) × n ÷ 2。試 n = 5：最後一天是 17 − 4 = 13 隻，和 = (17 + 13) × 5 ÷ 2 = 75 ✓。（少一天，和只有 62，還未吃光。）
- 5.所以草在第 5 天剛好被吃光。
- 6.驗算：5 天羊共吃 (20 + 16) × 5 ÷ 2 = 90 份；草共有 75 + 3 × 5 = 90 份 ✓
- ⚠️常見錯誤：把每天的羊數當作平均 20 頭計算，或者忘了草每天都在長。把「吃新草」和「吃舊草」的羊分開，舊草就是一串連續整數之和。
答案：5 天
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