幾何與證明｜13–14 歲（中二）

畢氏定理的逆定理工作紙

屬於：畢氏定理

學方法和例題

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畢氏定理的逆定理工作紙

幾何與證明｜13–14 歲（中二）

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姓名：日期：得分：／48

請在空位寫上答案。應用題要列式計算，並寫出答句。

一、計算及填充（每題 2 分）

1.三條邊長 30 cm、24 cm 和 18 cm 的三角形是直角三角形。直角對面的邊長多少 cm？
答：
2.三角形的三條邊長 20 cm、16 cm 和 12 cm。最長的邊是 cm；兩條較短邊的平方和是，最長邊的平方是。
填上每個空格
答：
3.三角形的三條邊長 52 cm、45 cm 和 24 cm。最長的邊是 cm；兩條較短邊的平方和是，最長邊的平方是。
填上每個空格
答：
4.△PQR 中，PQ = 15 cm，QR = 36 cm，PR = 39 cm。證明 ∠PQR = 90°：把步驟排好。
- A. ∠PQR = 90°（畢氏定理的逆定理）
- B. = 1521 = 39² = PR²
- C. = 225 + 1296
- D. PQ² + QR² = 15² + 36²
按正確次序寫出英文字母
答：
5.△PQR 中，PQ = 16 cm，QR = 30 cm，PR = 34 cm。證明 ∠PQR = 90°：把步驟排好。
- A. = 256 + 900
- B. PQ² + QR² = 16² + 30²
- C. = 1156 = 34² = PR²
- D. ∠PQR = 90°（畢氏定理的逆定理）
按正確次序寫出英文字母
答：

二、選擇及判斷（每題 2 分）

6.三條邊長 30 cm、16 cm 和 34 cm 的三角形是直角三角形。
判斷對錯
答：
7.下面哪一組長度（單位：cm）可以組成直角三角形？
- A. 41, 42, 58
- B. 40, 42, 58
- C. 40, 42, 59
- D. 40, 43, 59
選出正確答案
答：
8.△ABC 中，AB = 120 cm，BC = 27 cm，CA = 123 cm。哪一隻角是直角？
- A. ∠C
- B. ∠B
- C. 沒有直角
- D. ∠A
選出正確答案
答：
9.△ABC 中，AB = 48 cm，BC = 90 cm，AC = 102 cm。∠ABC 是不是直角？
- A. 不能判斷，要先量角
- B. 不是：AB² + BC² ≠ AC²
- C. 不是：AC 不是最長的邊
- D. 是：AB² + BC² = AC²（畢氏定理的逆定理）
選出正確答案
答：
10.△ABC 中，AB = 4 cm，BC = 5 cm，CA = 3 cm。哪一隻角是直角？
- A. ∠B
- B. 沒有直角
- C. ∠A
- D. ∠C
選出正確答案
答：
11.三條邊長 12 cm、35 cm 和 37 cm 的三角形是直角三角形。
判斷對錯
答：
12.三條邊長 84 cm、77 cm 和 36 cm 的三角形是直角三角形。
判斷對錯
答：

三、應用題（每題 4 分）

13.一塊三角形草地的三條邊長 5 m、12 m 和 13 m。園丁說：「最長那條邊對着的角是直角。」他說得對嗎？
- A. 不對：5² + 12² ≠ 13²
- B. 對：最長的邊一定對着直角
- C. 對：5² + 12² = 13²，由畢氏定理的逆定理
- D. 不能判斷，要先量角
選出正確答案
列式計算：
答：
14.一條長 90 m 的繩子按 5 : 12 : 13 分成三段，圍成一個三角形。三段分別長 m、 m 和 m，這個三角形的面積是 m²。
填上每個空格
列式計算：
答：
15.木匠想檢查書櫃的一個角是不是直角。他由角頂沿兩邊量出 72 cm 和 21 cm，兩點之間的距離是 76 cm。這個角是直角嗎？
- A. 是，因為 72² + 21² = 76²
- B. 不能判斷，要用量角器
- C. 是，因為 72 + 21 比 76 大
- D. 不是，因為 72² + 21² ≠ 76²
選出正確答案
列式計算：
答：
16.一塊三角形木板的三邊長 63 cm、60 cm 和 87 cm。木板的面積是多少 cm²？
列式計算：
答：
17.△ABC 中，BC = 16 cm，AC = 30 cm，AB = 34 cm。求 △ABC 的面積：把步驟排好。
- A. ∠ACB = 90°（畢氏定理的逆定理）
- B. 面積 = 16 × 30 ÷ 2 = 240 cm²
- C. BC² + AC² = 256 + 900 = 1156 = AB²
按正確次序寫出英文字母
列式計算：
答：
18.四邊形農地 ABCD 中，∠ABC = 90°，AB = 9 m，BC = 12 m，CD = 20 m，DA = 25 m。AC = m；因為 AC² + CD² = DA²，所以 ∠ACD = 90°；農地的面積是 m²。
填上每個空格
列式計算：
答：

看答案和詳細步驟

畢氏定理的逆定理工作紙・答案及詳解

一、計算及填充

1. 30 cm
直角對着最長的邊：24² + 18² = 900 = 30²，所以是 30 cm。
2. 20，400，400
最長的是 20 cm；另外兩邊平方後相加得 400，20² = 400。兩數相等，三角形才是直角三角形。
3. 52，2601，2704
最長的是 52 cm；另外兩邊平方後相加得 2601，52² = 2704。兩數相等，三角形才是直角三角形。
4. D → C → B → A
先算兩條較短邊的平方和，得 1521，等於 PR²，再由畢氏定理的逆定理得出直角；直角在 PR 對面，即 ∠PQR。
5. B → A → C → D
先算兩條較短邊的平方和，得 1156，等於 PR²，再由畢氏定理的逆定理得出直角；直角在 PR 對面，即 ∠PQR。

二、選擇及判斷

6. 對
最長的邊是 34 cm：兩條較短邊的平方和是 1156，34² = 1156。相等才是直角三角形（畢氏定理的逆定理）。
7. B. 40, 42, 58
40² + 42² = 3364 = 58²，由畢氏定理的逆定理是直角三角形；其他三組都不相等。
8. B. ∠B
120² + 27² = 15129 = 123²，由畢氏定理的逆定理，直角對着最長的邊 123 cm。
9. D. 是：AB² + BC² = AC²（畢氏定理的逆定理）
AB² + BC² = 48² + 90² = 10404，AC² = 102² = 10404。兩者相等，由畢氏定理的逆定理，∠ABC 是直角；不相等，∠ABC 就不是直角。
10. C. ∠A
4² + 3² = 25 = 5²，由畢氏定理的逆定理，直角對着最長的邊 5 cm。
11. 對
最長的邊是 37 cm：12² + 35² = 1369，37² = 1369。相等才是直角三角形。
12. 錯
最長的邊是 84 cm：36² + 77² = 7225，84² = 7056。相等才是直角三角形。

三、應用題

評分：列式 2 分、答案 1 分、答句 1 分。

13. C. 對：5² + 12² = 13²，由畢氏定理的逆定理
兩條較短邊：5² + 12² = 169；最長邊：13² = 169。相等才是直角（畢氏定理的逆定理），不相等就不是。
14. 15，36，39，270
每份 90 ÷ 30 = 3 m，三段是 15、36、39 m。15² + 36² = 39²，由畢氏定理的逆定理，兩條較短的邊互相垂直，面積 = 15 × 36 ÷ 2 = 270 m²。
15. D. 不是，因為 72² + 21² ≠ 76²
72² + 21² = 5625，76² = 5776：相等才是直角（畢氏定理的逆定理）。
16. 1890 cm²
63² + 60² = 7569 = 87²，由畢氏定理的逆定理，63 cm 和 60 cm 的兩邊互相垂直：面積 = 63 × 60 ÷ 2 = 1890 cm²。
17. C → A → B
要先證明 ∠ACB 是直角，BC 和 AC 才是底和高：面積 = 16 × 30 ÷ 2 = 240 cm²。
18. 15，204
AC = 9² + 12² = 15 m（畢氏定理）；15² + 20² = 25²，∠ACD = 90°（逆定理）；面積 = 9 × 12 ÷ 2 + 15 × 20 ÷ 2 = 204 m²。

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