幾何與證明｜13–14 歲（中二）

畢氏定理工作紙

內容：求斜邊、求直角邊、畢氏定理的逆定理、畢氏定理的應用、畢氏三元數

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幾何與證明｜13–14 歲（中二）

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請在空位寫上答案。應用題要列式計算，並寫出答句。

1.直角邊長 6 cm 和 5 cm 的直角三角形，斜邊長多少 cm（準確至一位小數）？
答：
2.直角三角形的兩條直角邊長 2 m 和 45 cm。斜邊長多少 cm？
答：
3.直角三角形的斜邊長 16 cm，一條直角邊長 15 cm。另一條直角邊長多少 cm（準確至一位小數）？
答：
4.圖中的直角三角形，直角邊 ? = cm。
答：
5.直角三角形有兩條邊長 9 cm 和 13 cm，但沒有說明哪一條是斜邊。如果 13 cm 那條是斜邊，第三邊 = cm；如果兩條都是直角邊，第三邊 = cm。
填上每個空格
答：
6.三角形的三條邊長 10 cm、24 cm 和 26 cm。最長的邊是 cm；兩條較短邊的平方和是，最長邊的平方是。
填上每個空格
答：
7.三條邊長 75 cm、21 cm 和 72 cm 的三角形是直角三角形。直角對面的邊長多少 cm？
答：
8.直角梯形 ABCD 中，AB = 4 cm，DC = 16 cm，AD = 16 cm。求 BC 的長度。答案是 cm
答：
9.△ABC 中，D 在 BC 上，AD ⊥ BC，AD = 12 cm，BD = 5 cm，DC = 35 cm。△ABC 的周界是多少 cm？
答：
10.奇數 n = 5：(n² − 1) ÷ 2 = ，(n² + 1) ÷ 2 = 。這三個數組成一組畢氏三元數。
填上每個空格
答：

13.旗桿高 14 m。一條繩由旗桿頂拉直到地面上離旗桿底 8 m 的一點，繩長約多少 m（準確至一位小數）？
列式計算：
答：
14.一個長方形相架闊 8 cm、高 6 cm。求它的對角線 d 的長度：把步驟排好。
- A. = 64 + 36
- B. = 100
- C. d² = 8² + 6²
- D. d = 100 = 10
按正確次序寫出英文字母
列式計算：
答：
15.一部電視機屏幕的對角線長 40 cm，闊 32 cm。屏幕高 cm，面積是 cm²。
填上每個空格
列式計算：
答：
16.一條長 360 m 的繩子按 8 : 15 : 17 分成三段，圍成一個三角形。三段分別長 m、 m 和 m，這個三角形的面積是 m²。
填上每個空格
列式計算：
答：
17.一塊長方形草地的對角線長 82 m，一邊長 80 m。要在草地四周圍上欄杆，共要多少 m？
列式計算：
答：
18.一個直角三角形的三邊都是整數 cm，最短的一邊長 6 cm，另外兩邊相差 2 cm。斜邊長多少 cm？
列式計算：
答：

看答案和詳細步驟

畢氏定理工作紙・答案及詳解

1. 7.8 cm
6² + 5² = 61，斜邊 = 61 ≈ 7.8 cm。
2. 205 cm
先把單位統一：2 m = 200 cm。200² + 45² = 40000 + 2025 = 42025，斜邊 = 42025 = 205 cm。
3. 5.6 cm
16² − 15² = 31，另一條直角邊 = 31 ≈ 5.6 cm。
4. 39
8 cm 是斜邊：8² − 5² = 64 − 25 = 39，不是平方數，所以 ? = 39 cm。
5. 88，250
13 cm 是斜邊時，第三邊是直角邊，用減：169 − 81 = 88；兩條都是直角邊時，第三邊是斜邊，用加：81 + 169 = 250。9 cm 比 13 cm 短，不會是斜邊。
6. 26，676，676
最長的是 26 cm；另外兩邊平方後相加得 676，26² = 676。兩數相等，三角形才是直角三角形。
7. 75 cm
直角對着最長的邊：21² + 72² = 5625 = 75²，所以是 75 cm。
8. 20
由 B 向 DC 畫垂直線，得一個直角三角形：直角邊是 16 − 4 = 12 cm 和高 16 cm，BC = 12² + 16² = 20 cm。
9. 90 cm
AB = 12² + 5² = 13 cm，AC = 12² + 35² = 37 cm；周界 = 13 + 37 + 5 + 35 = 90 cm。
10. 12，13
5² = 25，(25 − 1) ÷ 2 = 12，(25 + 1) ÷ 2 = 13；12 和 13 相差 1，13² − 12² = 13 + 12 = 25 = 5²。

評分：列式 2 分、答案 1 分、答句 1 分。

13. 16.1 m
旗桿和地面成直角，繩是斜邊：14² + 8² = 260，繩長 = 260 ≈ 16.1 m。
14. C → A → B → D
對角線是兩邊所成直角三角形的斜邊：先平方、相加，最後開方，d = 10 cm。
15. 24，768
對角線是斜邊：高 = 40² − 32² = 24 cm；面積 = 32 × 24 = 768 cm²。
16. 72，135，153，4860
每份 360 ÷ 40 = 9 m，三段是 72、135、153 m。72² + 135² = 153²，由畢氏定理的逆定理，兩條較短的邊互相垂直，面積 = 72 × 135 ÷ 2 = 4860 m²。
17. 196 m
另一邊 = 82² − 80² = 18 m；周界 = 2 × (80 + 18) = 196 m。
18. 10 cm
設另外兩邊是 y 和 y + 2：(y + 2)² − y² = 4y + 4 = 6²，y + 1 = 9，所以兩邊是 8 和 10，斜邊 10 cm。

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