平均數問題奧數題目：例題 10

詳解

先自己想一想，再看下面的逐步詳解。

1. 1.考第 k 次之前有 k − 1 次、平均 A；考完後 k 次、平均 A + 2。第 k 次的分數 = k(A + 2) − (k − 1)A = A + 2k，即比考之前的平均分高 2 × k。
2. 2.因為平均分每次升 2 分，而高出的部分每次也多 2 分，所以每次的分數都比上一次多 4 分：分數排成一個每次加 4 的數列，平均分排成一個每次加 2 的數列，兩者都由第 1 次的分數開始。
3. 3.由第 1 次到最後一次，分數升了 74 − 第 1 次，平均分升了 58 − 第 1 次；前者是後者的 2 倍。所以 74 − 第 1 次 = 2 × (58 − 第 1 次)。
4. 4.即第 1 次 = 2 × 58 − 74 = 42 分；平均分升了 58 − 42 = 16 分，每次升 2 分，所以一共考了 8 + 1 = 9 次。
5. 5.驗算：分數 42、46、50、54、58、62、66、70、74，總分 522，平均 58 ✓；每次平均分 42、44、46、48、50、52、54、56、58 ✓
6. ⚠️常見錯誤：以為每次的分數也只多 2 分。要把平均分拉高 2 分，新的分數要比之前的平均分高出越來越多，分數每次多 4 分。

答案：42 分