小學奧數題目｜小六★★★★ 極難
平均數問題奧數題目：例題 11
這道平均數問題奧數題屬極難程度，適合小六，附逐步圖解和答案。華夏盃小四至小五的初賽、晉級賽和總決賽都有平均數的題目。
題目
一班有14至37位同學參加數學測驗，
60分或以上為及格。
及格同學的平均分是86分，
不及格同學的平均分是54分，
全班的平均分是74分。
後來老師發現有一題的答案印錯了，
於是全班每人加5分。
加分後，及格同學的平均分是84分，
不及格同學的平均分是54分。
加分後，有多少位同學由不及格變成及格？
看提示（3 個）
- 提示 1：及格同學比全班平均多出的分數，剛好補足不及格同學比全班平均少的分數。由此求及格和不及格人數的比。
- 提示 2：加分後全班平均是 74 + 5 = 79 分，用同樣方法再求一次人數的比。全班人數要同時配合兩個比。
- 提示 3：加分前及格 : 不及格 = 5 : 3，加分後 = 5 : 1，所以全班人數是 8 和 6 的公倍數。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.加分前：及格的每人比全班平均多 86 − 74 = 12 分，不及格的每人少 74 − 54 = 20 分，多出的剛好補足少了的：及格人數 × 12 = 不及格人數 × 20，所以及格 : 不及格 = 20 : 12 = 5 : 3。
- 2.加分後全班平均 74 + 5 = 79 分：及格的每人多 5 分，不及格的每人少 25 分，所以及格 : 不及格 = 25 : 5 = 5 : 1。
- 3.全班人數不變，要同時是 8 和 6 的倍數，即 24 的倍數。在 14 至 37 之間只有 24，所以全班 24 人。
- 4.加分前及格 24 × 5/8 = 15 人，加分後及格 24 × 5/6 = 20 人。原來及格的加分後仍然及格，所以由不及格變及格的有 20 − 15 = 5 位。
- 5.驗算：加分前 15 × 86 + 9 × 54 = 1776 = 24 × 74 ✓；加分後 20 × 84 + 4 × 54 = 1896 = 24 × 79 ✓
- ⚠️常見錯誤：以為加分後及格同學的平均分是 86 + 5 = 91 分。新加入的同學原本接近 60 分，把及格同學的平均分拉低了，所以要用新的平均分重新求比。
答案：5 位
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