小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
容斥原理奧數題目：例題 8
這道容斥原理奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步詳解和答案。華夏盃小三至小六的晉級賽和總決賽常見，較難的有三組重疊和「恰好屬於兩組」。
題目
學校有130位學生，
參加4項課外活動（每人可以參加多項，也可以一項也不參加）：
籃球62人、合唱61人、棋藝115人、科學86人。
參加了三項或以上活動的學生，最少有多少人？
看提示（3 個）
- 提示 1：把每項活動的人數加起來，是「人次」：一共 324 人次。如果每人最多參加兩項，最多可以有多少人次？
- 提示 2：參加三項或以上的人，每人最多可以參加 4 項。設這樣的人有 x 人，其餘的人最多每人兩項。
- 提示 3：130 人每人兩項只有 260 人次，少了 64 人次。每多一個「參加 4 項」的人，比兩項多出 2 人次。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.各項人數相加：62 + 61 + 115 + 86 = 324 人次。
- 2.如果沒有人參加三項或以上，130 人最多只有 130 × 2 = 260 人次，不夠 324，差 64 人次。
- 3.設有 x 人參加三項或以上，每人最多 4 項，比兩項最多多出 2 人次；所以 2 × x ≥ 64，x ≥ 64 ÷ 2，x 最少是 32。
- 4.而 32 人是做得到的：讓這 32 人參加幾乎全部活動（合共補足多出的 64 人次），其餘的人每人參加兩項或以下，把各項的名額填滿——每項人數都不超過 130，可以排得到。
- 5.所以最少有 32 人參加了三項或以上。
- ⚠️常見錯誤：用「每人參加三項」來算，得 64 人；參加三項或以上的人最多可以參加 4 項，一人可以「補」2 人次，所以人數可以更少。
答案：32 人
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