小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
容斥原理奧數題目：例題 9
這道容斥原理奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步詳解和答案。華夏盃小三至小六的晉級賽和總決賽常見，較難的有三組重疊和「恰好屬於兩組」。
題目
由1開始，
把正整數1、2、3、…… 一直寫到 N 為止。
在寫出的數之中，
既不是3的倍數、也不是5的倍數的數，
剛好有222個。
N 最小可以是多少？
看提示（3 個）
- 提示 1：3 和 5 的最小公倍數是 15。在 1 至 15 之中，既不是 3 的倍數、也不是 5 的倍數的數有多少個？之後每 15 個數，情況都一樣。
- 提示 2：用容斥原理：15 − 15 ÷ 3 − 15 ÷ 5 + 15 ÷ 15 個。222 個要經過多少個完整的「15 個數」？餘下的在下一段的哪裏？
- 提示 3：每 15 個數有 8 個；222 = 8 × 27 + 6。1 至 15 中這樣的數依次是 1、2、4、7、8、11、13、14。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.3 和 5 的最小公倍數是 15，每 15 個連續的數，倍數的情況都重複一次。
- 2.1 至 15 中：3 的倍數 5 個，5 的倍數 3 個，兩者都是的（15 的倍數）1 個。既不是 3 也不是 5 的倍數：15 − 5 − 3 + 1 = 8 個，依次是 1、2、4、7、8、11、13、14。
- 3.222 = 8 × 27 + 6：寫到 27 × 15 = 405 時剛好有 216 個，還差 6 個，要在下一段（406 至 420）裏再數。
- 4.下一段的第 6 個是 405 + 11 = 416，寫到這個數時剛好夠 222 個，所以 N 最小是 416。
- 5.驗算：1 至 416 中，3 的倍數 138 個，5 的倍數 83 個，15 的倍數 27 個：416 − 138 − 83 + 27 = 222 ✓
- ⚠️常見錯誤：用比例直接估算 N = 222 × 15 ÷ 8，不是整數也不知道怎樣取；或者答了「最大」的 N。
答案：416
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