小學奧數題目｜小六★★★★ 極難
百分數與濃度奧數題目：例題 9
這道百分數與濃度奧數題屬極難程度，適合小六，附逐步詳解和答案。華夏盃小六的初賽和總決賽常見，例如折扣、先加後減和濃度。
題目
一個瓶裏有90克濃度40% 的糖水。
第一次倒出若干克糖水，
再加入同樣多克的清水，攪勻；
第二次又倒出同樣多克的糖水，
再加入同樣多克的清水，攪勻。
這時瓶裏糖水的濃度是10%。
每次倒出了多少克？
看提示（3 個）
- 提示 1：倒出一部分糖水時，糖少了幾分之幾？加水時糖有沒有變？
- 提示 2：瓶裏的糖水總是 90 克，所以濃度只跟糖有關。每次倒出同樣多，糖每次都剩下同樣的幾分之幾。
- 提示 3：兩次之後，糖是原來的 10/40 = 1/4。哪個分數自己乘自己等於 1/4？
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.每次倒出若干克，糖按比例少了；加回同樣多的清水，糖不變，瓶裏總是 90 克。所以濃度和糖的重量成正比。
- 2.設每次留下糖的 r（r = 留下的糖水 ÷ 90）。兩次之後糖是原來的 r × r，濃度也是：r × r = 10 ÷ 40 = 1/4。
- 3.1/2 × 1/2 = 1/4，所以 r = 1/2：每次留下 90 × 1/2 = 45 克。
- 4.每次倒出 90 − 45 = 45 克。
- 5.驗算：糖原有 90 × 40% = 36 克；第一次後剩 36 × 1/2 = 18 克，第二次後剩 9 克，9 ÷ 90 = 10% ✓
- ⚠️常見錯誤：以為兩次濃度一共下降 40 − 10 = 30 個百分點，每次下降 15 個百分點，用直線方法計算。每次倒出的糖一次比一次少，濃度是「乘以同一個分數」，不是「減去同一個數」。
答案：45 克
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