小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
排列組合奧數題目：例題 8
這道排列組合奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。華夏盃由小一、小二初賽到小五總決賽都有排列組合的題目。
題目
小美的錢包裏有2個十元硬幣、3個五元硬幣、3個兩元硬幣和6個一元硬幣。
她在文具店買了31元的文具，
要用硬幣剛好付31元，不用找續；
收銀員又說，最多只可以收9個硬幣。
她有多少種不同的付款方法？（只看每種硬幣用了多少個。）
看提示（3 個）
- 提示 1：先決定十元用多少個，再決定五元用多少個。還差的錢用兩元和一元補。
- 提示 2：十元和五元定了以後，兩元用多少個一決定，一元的數目就跟着定了。兩元用得越多，硬幣總數越少還是越多？
- 提示 3：兩元要同時合乎三個限制：不多於 3 個；一元不多於 6 個；硬幣總數不多於 9 個。逐個組合數一數。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.十元 t 個、五元 f 個之後還差 r 元；兩元用 w 個，一元就要 r − 2 × w 個，硬幣總數是 t + f + w + (r − 2 × w) = t + f + r − w。所以兩元每多用一個，硬幣總數就少一個：總數不多於 9，即 w 至少是 t + f + r − 9。
2.十元 2 個、五元 2 個：還差 1 元。一元最多 6 個、兩元最多 3 個，w 可以是 0；硬幣總數沒有影響。w 由 0，共 1 種。 3.十元 2 個、五元 1 個：還差 6 元。一元最多 6 個、兩元最多 3 個，w 可以是 0 至 3；硬幣總數沒有影響。w 由 0 至 3，共 4 種。 4.十元 1 個、五元 3 個：還差 6 元。一元最多 6 個、兩元最多 3 個，w 可以是 0 至 3；硬幣總數要求 w 至少 1 + 3 + 6 − 9 = 1。w 由 1 至 3，共 3 種。 5.一共：1 + 4 + 3 = 8 種。 - ⚠️常見錯誤：忘了「最多 9 個硬幣」，答 11 種；或者以為硬幣越多越好，弄錯了 w 要「至少」而不是「最多」。十元和五元用得太少的組合，一元用得太多，會超過 9 個。
答案：8 種
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