小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
排列組合奧數題目：例題 11
這道排列組合奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步詳解和答案。華夏盃由小一、小二初賽到小五總決賽都有排列組合的題目。
題目
校際數學比賽的決賽有8位同學，
其中包括小明和小美。
大會要頒發1個金獎、1個銀獎和4個銅獎，
每位同學最多得一個獎，
同一種獎沒有分別。
老師估計，
小明一定會得獎（金、銀、銅都可以）。
得獎的結果一共有多少種可能？
看提示（3 個）
- 提示 1：先不理小明：先選誰得金獎，再在餘下的人中選銀獎，再選銅獎。同一種獎沒有分別，選出的人不用排次序。
- 提示 2：「小明得獎」直接數不容易。它的反面是甚麼？
- 提示 3：全部 840 種，減去小明沒有獎的結果：獎全部在其餘 7 人之中選。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.不理條件：金獎由 8 人中選 1 人：8 種；銀獎由餘下 7 人中選 1 人：7 種；銅獎由餘下 6 人中選 4 人：6 × 5 × 4 × 3 ÷ (4 × 3 × 2 × 1) = 15 種。共 8 × 7 × 15 = 840 種。
- 2.反面：小明沒有獎，獎全部在其餘 7 人中選：7 × 6 × 5 = 210 種。
- 3.所求 = 840 − 210 = 630 種。
- ⚠️常見錯誤：把同一種的獎當作不同的獎（例如銀獎分第一、第二），多乘了次序；或者直接用「小明得金、得銀、得銅」三種情況相加時漏算。
答案：630 種
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