小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
排列組合奧數題目：例題 10
這道排列組合奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。華夏盃由小一、小二初賽到小五總決賽都有排列組合的題目。
題目
小息時，
3位同學（阿明、阿美、阿強）玩傳球，
由阿明開始拿着球。
每次拿着球的同學，
把球傳給另外任何一位同學（不可以傳給自己）。
第 3 次傳球後，球在阿美手上；傳了 5 次之後，球剛好回到阿明手上。這樣的傳球方法有多少種？
看提示（3 個）
- 提示 1：把傳球分成兩段：由阿明到阿美（3 次），再由阿美回到阿明（2 次）。兩段的方法數之間是甚麼關係？
- 提示 2：每一段都很難一一列出。記下「球在阿明」和「球在某一位其他同學」兩個方法數，一次一次地計：新的「在阿明」= 2 × 舊的「在某一位其他人」；新的「在某一位其他人」= 舊的「在阿明」+ 1 × 舊的「在某一位其他人」。
- 提示 3：由阿美出發回到阿明，和由阿明出發到阿美，方法數一樣（把兩人的名字對調）。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.設 A = 球在阿明手上的方法數，B = 球在某一位指定的其他同學手上的方法數。再傳一次：新 A = 2 × B（由 2 位其他同學之一傳來）；新 B = A + 1 × B（由阿明或另外 1 位同學傳來）。
2.由 A = 1、B = 0 開始：傳 1 次：A = 0，B = 1；傳 2 次：A = 2，B = 1；傳 3 次：A = 2，B = 3。 - 3.第一段：阿明傳 3 次到阿美，有 3 種。第二段：阿美傳 2 次回到阿明；把兩人名字對調，和「阿明傳 2 次到某一位同學」一樣，有 1 種。
- 4.第一段的每一種，都可以配第二段的任何一種：3 × 1 = 3 種。
- ⚠️常見錯誤：把兩段的方法數相加（3 + 1）；或者第二段用了「2 次後在阿明手上」的 2（那是由阿明出發的）。
答案：3 種
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