小學奧數題目｜小五至小六★★★ 困難
整除與因數奧數題目：例題 6
這道整除與因數奧數題屬困難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。華夏盃小四、小五的晉級賽和總決賽常見，較難的題目要用因數個數和完全平方數。
題目
學校走廊有68個儲物櫃，
編號由1至68，起初全部關上。
68位同學逐一經過：
第1位同學把編號是1的倍數的櫃門都轉一次；
第2位同學把編號是2的倍數的櫃門都轉一次；
第3位同學轉編號是3的倍數的；
如此類推，直到第68位同學。
「轉一次」是指：
關上的就打開，打開的就關上。
68 位同學都經過之後，有多少個儲物櫃是打開的？
看提示（3 個）
- 提示 1：看一個儲物櫃，例如第 12 號：有哪幾位同學轉過它的櫃門？
- 提示 2：櫃門被轉了單數次就是打開，雙數次就是關上。被轉的次數，就是編號的因數個數。
- 提示 3：因數通常一對一對出現，例如 12 = 3 × 4。甚麼數的因數個數是單數？
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
1.第 k 位同學會轉第 n 號櫃門，只有當 k 是 n 的因數。例如第 12 號，只有第 1、2、3、4、6、12 位同學會轉它。所以每個櫃門被轉的次數，就是編號的因數個數。 2.12 的因數成對出現（1 × 12、2 × 6、3 × 4），共 6 個，是雙數，所以第 12 號最後關上。 3.只有平方數（例如 9 = 3 × 3，因數 1、3、9）有一對因數是同一個數，因數個數是單數，所以最後打開。 4.不超過 68 的平方數：1 × 1 = 1、2 × 2 = 4、3 × 3 = 9、4 × 4 = 16、5 × 5 = 25、6 × 6 = 36、7 × 7 = 49、8 × 8 = 64，共 8 個，即 8 個儲物櫃打開。 - ⚠️常見錯誤：以為大約一半打開、一半關上，答 34。
答案：8 個
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