小學奧數題目｜小六★★★★ 極難
整除與因數奧數題目：例題 9
這道整除與因數奧數題屬極難程度，適合小六，附逐步詳解和答案。華夏盃小四、小五的晉級賽和總決賽常見，較難的題目要用因數個數和完全平方數。
題目
數學營的猜數遊戲：
導師心中想着兩個不同的正整數，
並給出兩個提示：
(1) 兩個數之和是825；
(2) 兩個數的最小公倍數，
剛好是它們的最大公因數的156倍。
同學發現，符合提示的兩個數不止一組。
把每一組中較大的數加起來，和是多少？
看提示（3 個）
- 提示 1：設兩數的最大公因數是 g，兩數就是 g × p 和 g × q，而 p、q 沒有公因數（互質）。最小公倍數是多少？
- 提示 2：最小公倍數 = g × p × q，所以 p × q = 156；兩數之和 = g × (p + q) = 825，所以 p + q 要整除 825。把 156 分成兩個互質的數相乘，逐一試。
- 提示 3：156 的分法有：1 × 156、2 × 78、3 × 52、4 × 39、6 × 26、12 × 13。先剔除不互質的。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.設最大公因數是 g，兩數 = g × p 和 g × q（p < q，p、q 互質，否則最大公因數會更大）。最小公倍數 = g × p × q，所以 p × q = 156；兩數之和 g × (p + q) = 825，所以 p + q 整除 825。
- 2.1 × 156：1 + 156 = 157，825 不是 157 的倍數，不合
- 3.2 × 78：2 和 78 有公因數 2，不合
- 4.3 × 52：3 + 52 = 55，最大公因數 = 825 ÷ 55 = 15，兩數是 45 和 780 ✓
- 5.4 × 39：4 + 39 = 43，825 不是 43 的倍數，不合
- 6.6 × 26：6 和 26 有公因數 2，不合
- 7.12 × 13：12 + 13 = 25，最大公因數 = 825 ÷ 25 = 33，兩數是 396 和 429 ✓
- 8.所以較大的數有 780、429，和 = 780 + 429 = 1209。
- 9.驗算（第一組）：45 + 780 = 825，最大公因數 15，最小公倍數 2340 = 156 × 15 ✓
- ⚠️常見錯誤：把 156 的所有分法都算進去，忘了 p、q 要互質（例如 2 × 78 不行）；或者只找到一組就停下來。
答案：1209
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