小學奧數題目｜小六★★★★ 極難
整除與因數奧數題目：例題 8
這道整除與因數奧數題屬極難程度，適合小六，附逐步圖解和答案。華夏盃小四、小五的晉級賽和總決賽常見，較難的題目要用因數個數和完全平方數。
題目
陳老師為班際比賽買了一批獎品，
獎品的數量是10的倍數。
她發現：
把全部獎品平均分成若干份（每份一樣多，沒有剩下），
一共剛好有8種不同的分法。
份數不同，就算是不同的分法；
全部只算作1份，
或者每份只有1件，也各算一種分法。
這批獎品最少有多少件？
看提示（3 個）
- 提示 1：分成 3 份，每份一樣多又沒有剩下，3 和獎品的數量有甚麼關係？8 種分法即是說，獎品的數量有多少個因數？
- 提示 2：把一個數寫成質因數相乘，例如 72 = 2³ × 3²，它的因數個數是 (3 + 1) × (2 + 1) = 12。
- 提示 3：把 8 寫成幾個數相乘：8、4 × 2、2 × 2 × 2，每種寫法對應一種質因數的形式。獎品的數量一定要包含 10 = 2 × 5。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
1.每一種分法的份數，都是獎品數量的因數。所以獎品的數量剛好有 8 個因數，而且是 10 的倍數。 2.如果 n = p^a × q^b × …（p、q… 是不同的質數），n 的因數個數是 (a + 1) × (b + 1) × …。例如 72 = 2³ × 3²：它的因數排成 4 行、3 列，共 (3 + 1) × (2 + 1) = 12 個。 3.8 可以寫成 8、4 × 2、2 × 2 × 2，所以 n 的形式可以是 p⁷、p³ × q、p × q × r。 4.10 = 2 × 5，n 一定要有這些質因數，而且次方不可以較少。每種形式中，最小的 10 的倍數是： 5.p⁷：不可能，容不下 2 × 5。 6.p³ × q：最小是 2³ × 5 = 40。 7.p × q × r：最小是 2 × 3 × 5 = 30。 8.最小的是 30 = 2 × 3 × 5。驗算：因數個數 (1 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 8。 - ⚠️常見錯誤：答 24 = 2³ × 3，它有 8 個因數，卻不是 10 的倍數。
答案：30 件
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