小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
餘數問題奧數題目：例題 10
這道餘數問題奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。華夏盃小三至小六的卷中常見，較難的題目要幾個餘數條件同時成立。
題目
數學營的電腦挑戰：
要計算1¹ +2² +3³ +4⁴ + … +1123¹¹²³，
即把1至1123每個數自己乘自己若干次（3³ 是3個3相乘，4⁴ 是4個4相乘，如此類推）後全部加起來。
答案太長，電腦只顯示了它的個位數字。
電腦顯示的數字是多少？
看提示（3 個）
- 提示 1：和的個位只由每一項的個位決定。2² 和 12¹² 的個位一樣嗎？3³ 和 13¹³ 呢？
- 提示 2：一個數連續乘自己，積的個位每 4 次一循環。所以每一項的個位，由這個數的個位，和這個數除以 4 的餘數一起決定。兩樣都重複時，才會整組重複。
- 提示 3：個位每 10 個數重複，除以 4 的餘數每 4 個數重複，所以每項的個位每 20 個一循環。先求頭 20 項的個位之和。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.任何數連續乘自己，積的個位每 4 次重複一次（例如 2、4、8、6、2……）。所以 k 個 k 相乘的個位，由 k 的個位，和 k 除以 4 的餘數決定。
2.k 的個位每 10 個數重複一次，k 除以 4 的餘數每 4 個數重複一次；10 和 4 的最小公倍數是 20，所以每項的個位每 20 個一循環。 3.1¹ 至 20²⁰ 的個位：1、4、7、6、5、6、3、6、9、0、1、6、3、6、5、6、7、4、9、0，加起來是 94。 4.1123 ÷ 20 = 56 餘 3：56 組之後還有 3 項，它們的個位和頭 3 項一樣：1 + 4 + 7 = 12。個位之和是 56 × 94 + 12 = 5276。 5.所以和的個位是 6。 - ⚠️常見錯誤：以為每項的個位每 10 個一循環（2² 的個位是 4，12¹² 的個位卻是 6）。
答案：6
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