小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
餘數問題奧數題目：例題 11
這道餘數問題奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。華夏盃小三至小六的卷中常見，較難的題目要幾個餘數條件同時成立。
題目
全港中小學生參加大型團體操表演，
人數是一個四位數。
如果每13人一組，最後一組還差5人；
如果每15人一組，最後剩下6人；
如果人數增加一倍（每人帶一位朋友來），
每11人一組，最後剩下4人。
如果參加人數盡可能多，參加的學生有多少人？
看提示（3 個）
- 提示 1：人數加倍後除以 11 餘 4。原來的人數除以 11 餘 x，2 × x 除以 11 也要餘 4；2 × x 比 22 小，可以是多少？「最後一組還差 5 人」，即是除以 13 餘多少？先只看兩個條件，找出同時合乎的最小數。
- 提示 2：先找合乎「每 15 人」和「每 13 人」的最小數，之後每隔 15 × 13 = 195 再出現一次；在這些數中再找合乎「每 11 人」的。
- 提示 3：合乎「每 15 人」和「每 13 人」的最小數是 21，之後每隔 195 出現一次。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.人數加倍後除以 11 餘 4：設原來的人數除以 11 餘 x（x 比 11 小），那麼 2 × x 除以 11 也餘 4。2 × x 比 22 小，只可以是 4 或 4 + 11 = 15，其中雙數的是 4，所以 x = 2：原來的人數除以 11 餘 2。
2.三個條件即是：除以 13 餘 8，除以 15 餘 6，除以 11 餘 2。 3.除以 15 餘 6 的數：6、21……當中第一個除以 13 餘 8 的是 21。 4.同時合乎這兩個條件的數（每隔 15 × 13 = 195 出現一次）：21、216、411、606、801……1581、1776、1971，當中第一個除以 11 餘 2 的是 1971（第 11 個）。 - 5.13、15、11 兩兩沒有公因數，三個條件都合乎的數每隔 13 × 15 × 11 = 2145 出現一次：1971、4116、6261……
6.最大的四位數是 9999。(9999 − 1971) ÷ 2145 = 3 餘 1593，所以最大的是 1971 + 3 × 2145 = 8406。 - ⚠️常見錯誤：以為人數加倍後餘 4，原來就餘 4 ÷ 2，忘了 2 × x 也可以是 15；或者找到最小的 1971 便停下。另外，「還差 5 人」是除以 13 餘 8，不是餘 5。
答案：8406 人
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