小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
餘數問題奧數題目：例題 12
這道餘數問題奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。華夏盃小三至小六的卷中常見，較難的題目要幾個餘數條件同時成立。
題目
數學壁報上有一道謎題：
「我是一個正整數。我除以23，商和餘數相同；我除以29，商和餘數也相同。兩次的餘數都不是0。」
所有合乎條件的正整數，加起來是多少？
看提示（3 個）
- 提示 1：除以 23 時，設商和餘數都是 k：這個數可以怎樣用 k 表示？k 最大可以是多少？
- 提示 2：這個數 = 24 × k，k 由 1 至 22；同樣，它也是 30 的倍數。兩個條件各令這個數最大可以是多少？
- 提示 3：這個數是 24 和 30 的公倍數，而且兩個上限都要合乎。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.除以 23，商和餘數都是 k：這個數 = 23 × k + k = 24 × k。餘數要比 23 小，又不是 0，所以 k 由 1 至 22：這個數是 24 的倍數，而且不超過 24 × 22 = 528。
- 2.同樣，除以 29：這個數是 30 的倍數，不超過 30 × 28 = 840。兩個上限都要合乎，所以不超過 528。
3.24 和 30 的最小公倍數是 120，所以這個數是 120 的倍數：不超過 528 的有 120、240、360、480，共 4 個。 - 4.驗算 120：120 ÷ 23 = 5 餘 5；120 ÷ 29 = 4 餘 4。
- 5.總和 = 120 × (1 + 2 + 3 + 4) = 120 × 10 = 1200。
- ⚠️常見錯誤：只用了較寬鬆的上限 840，把 600 等也算進去，得 3360；但 600 ÷ 23 的商比餘數大。也有人把公倍數當成 24 × 30 = 720。
答案：1200
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