幾何與證明｜14–15 歲（中三）
謝爾賓斯基三角形工作紙
屬於：相似三角形
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謝爾賓斯基三角形工作紙
幾何與證明｜14–15 歲（中三）
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姓名：日期：得分：／48
請在空位寫上答案。應用題要列式計算，並寫出答句。
一、計算及填充（每題 2 分）
1.圖中是謝爾賓斯基三角形的其中一步。由這一步再畫 3 步，塗色的小三角形共有 個。
答：
2.畫謝爾賓斯基三角形：第 2 步之後，剩下 個塗色的小三角形。
答：
3.畫謝爾賓斯基三角形：第 3 步之後，剩下 個塗色的小三角形。
答：
4.謝爾賓斯基三角形第 1 步之後，塗色部分的面積是原來的 。
填上每個空格
答：
5.畫謝爾賓斯基三角形，由第 1 步到第 2 步，一共挖走了 個三角形。
答：
6.謝爾賓斯基三角形第 4 步之後，塗色部分的面積是原來的 。
填上每個空格
答：
7.畫謝爾賓斯基三角形，由第 1 步到第 5 步，一共挖走了 個三角形。
答：
8.一個等邊三角形的面積是 128 cm²。畫成謝爾賓斯基三角形，第 3 步之後，塗色部分的面積 =
答：
9.一個等邊三角形每邊長 12 cm。畫成謝爾賓斯基三角形，第 2 步之後，所有塗色小三角形的周界加起來 =
答：
10.一個等邊三角形的面積是 192 cm²。畫成謝爾賓斯基三角形，第 3 步之後，塗色部分的面積 =
答：
11.一個等邊三角形每邊長 6 cm。畫成謝爾賓斯基三角形，第 1 步之後，所有塗色小三角形的周界加起來 =
答：
二、選擇及判斷（每題 2 分）
12.謝爾賓斯基三角形第 1 步之後，塗色部分的面積少於原來的一半。
判斷對錯
答：
三、應用題（每題 4 分）
13.一塊面積 4 cm² 的等邊三角形紙板，照謝爾賓斯基三角形的方法剪到第 1 步。剩下的面積 = cm²，剪走的面積 = cm²。
填上每個空格
列式計算：
答：
14.一幅掛畫是謝爾賓斯基三角形，原來的大三角形面積是 256 cm²，畫到第 3 步。塗色小三角形有 個，塗色部分的面積 = cm²。
填上每個空格
列式計算：
答：
15.工匠用金箔做一幅謝爾賓斯基三角形，做到第 2 步，每個塗色小三角形貼一片金箔，每片 $7。金箔一共要多少元？
列式計算：
答：
16.畫謝爾賓斯基三角形，最少要畫到第幾步，塗色部分的面積才會少於原來的 50%？
列式計算：
答：
17.一幅掛畫是謝爾賓斯基三角形，原來的大三角形面積是 256 cm²，畫到第 4 步。塗色小三角形有 個，塗色部分的面積 = cm²。
填上每個空格
列式計算：
答：
18.一塊面積 80 cm² 的等邊三角形紙板，照謝爾賓斯基三角形的方法剪到第 2 步。剩下的面積 = cm²，剪走的面積 = cm²。
填上每個空格
列式計算：
答：
看答案和詳細步驟
謝爾賓斯基三角形工作紙・答案及詳解
一、計算及填充
1. 81
圖中有 3 個塗色三角形；每畫一步，每個變成 3 個：3 × 33 = 81。
2. 9
每步乘 3：32 = 9。
3. 27
每步乘 3：33 = 27。
4. 3，4
每步剩下 34：(34)1 = 34。
5. 4
第 k 步挖走的數目等於之前剩下的數目：1 + 3 + 9 + … + 3^(2 − 1) = (32 − 1) ÷ 2 = 4。
6. 81，256
每步剩下 34：(34)4 = 81256。
7. 121
第 k 步挖走的數目等於之前剩下的數目：1 + 3 + 9 + … + 3^(5 − 1) = (35 − 1) ÷ 2 = 121。
8. 54 cm²
128 × (34)3 = 54 cm²；也可以：每個小三角形 128 ÷ 43 = 2 cm²，共 33 個。
9. 81 cm
每個小三角形邊長 12 ÷ 22 = 3 cm，周界 3 × 3 cm，共 32 個：81 cm。也可以每步乘 32。
10. 81 cm²
192 × (34)3 = 81 cm²；也可以：每個小三角形 192 ÷ 43 = 3 cm²，共 33 個。
11. 27 cm
每個小三角形邊長 6 ÷ 21 = 3 cm，周界 3 × 3 cm，共 31 個：27 cm。也可以每步乘 32。
二、選擇及判斷
12. 錯
剩下 (34)1：34、916 都多於一半，2764 才少於一半。
三、應用題
評分：列式 2 分、答案 1 分、答句 1 分。
13. 3，1
剩下 4 × (34)1 = 3 cm²；剪走 4 − 3 = 1 cm²。
14. 27，108
33 = 27 個；每個面積 256 ÷ 43 = 4 cm²，共 108 cm²。
15. 63 元
32 個小三角形，每個 $7：63 元。
16. 3
每步乘 34：75%、56.25%、42.19%、31.64%、23.73%、17.80%、13.35%、10.01%、7.51%……第一個少於 50% 的是第 3 步。
17. 81，81
34 = 81 個；每個面積 256 ÷ 44 = 1 cm²，共 81 cm²。
18. 45，35
剩下 80 × (34)2 = 45 cm²；剪走 80 − 45 = 35 cm²。
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