小學奧數題目｜小六★★★★ 極難
周界與面積奧數題目：例題 9
這道周界與面積奧數題屬極難程度，適合小六，附逐步圖解和答案。華夏盃小四至小六的卷中常見，較難的題目要用三角形的面積比互相推算。
題目
如圖，
長方形花圃 PQRS 的對角線 PR 上有一點 K。
園丁經過 K 鋪了兩條小路：
一條與 PS 平行，
兩端是 PQ 上的 M 和 SR 上的 N；
另一條與 PQ 平行，
兩端是 PS 上的 U 和 QR 上的 V。
三角形 PMK 的面積是12平方厘米，
三角形 KRN 的面積是27平方厘米。
長方形 PQRS 的面積是多少平方厘米？
看提示（3 個）
- 提示 1：對角線 PR 穿過哪兩塊小長方形？它把這兩塊各分成怎樣的兩半？
- 提示 2：比較三角形 PQR 和 PRS：另外兩塊沒有被對角線穿過的小長方形，面積有甚麼關係？
- 提示 3：四塊小長方形中，左上和右下兩塊的面積相乘，等於右上和左下兩塊的面積相乘。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
1.對角線 PR 把長方形 PMKU 分成兩個一樣大的三角形，所以 PMKU = 12 × 2 = 24 平方厘米；同樣，KVRN = 27 × 2 = 54 平方厘米。 2.三角形 PQR 和 PRS 一樣大。PQR = PMK + MQVK + KVR，PRS = PUK + UKNS + KRN，而 PMK = PUK、KVR = KRN，所以 UKNS = MQVK。 3.再看四塊小長方形的邊：PMKU = PM × MK，KVRN = KV × VR，MQVK = MQ × MK，UKNS = UK × KN。因為 UK = PM、MQ = KV、KN = VR，所以 PMKU × KVRN = MQVK × UKNS（對角兩塊相乘一樣）。 4.MQVK 和 UKNS 一樣大，所以 MQVK × MQVK = 24 × 54 = 1296；36 × 36 = 1296，所以 MQVK = 36 平方厘米。 5.長方形 PQRS = 24 + 54 + 36 × 2 = 150 平方厘米。 - ⚠️常見錯誤：以為 MQVK 是 PMKU 和 KVRN 的平均數。沒有被對角線穿過的長方形，要用「對角兩塊面積的乘積相等」來求。
答案：150 平方厘米
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