小學奧數題目｜小六★★★★ 極難
周界與面積奧數題目：例題 10
這道周界與面積奧數題屬極難程度，適合小六，附逐步圖解和答案。華夏盃小四至小六的卷中常見，較難的題目要用三角形的面積比互相推算。
題目
三角形 ABC 中，F 在 AB 上，
E 在 AC 上，BE 和 CF 相交於 O，
把三角形分成四塊，如圖。
已知三角形 BOF 的面積是11平方厘米，
三角形 BOC 的面積是12平方厘米，
三角形 COE 的面積是11平方厘米。
四邊形 AFOE（塗色部分）的面積是多少平方厘米？（圖形不按比例。）
看提示（3 個）
- 提示 1：連接 AO，把四邊形分成三角形 AFO 和 AOE，設它們的面積分別是 x 和 y。
- 提示 2：三角形 BOF 和 BOC 同高，所以 FO : OC = 11 : 12。三角形 AFO 和 AOC 也以 FO、OC 為底、同高，它們的面積比也是 11 : 12。
- 提示 3：同樣，EO : OB = 11 : 12，所以 三角形 AOE : 三角形 AOB = 11 : 12。寫出兩條關於 x、y 的式，一起解。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
1.連接 AO（虛線）。設三角形 AFO 的面積是 x，三角形 AOE 的面積是 y。 2.BOF 和 BOC 同高（都由 B 出發），所以底 FO : OC = 11 : 12。AFO 和 AOC（= y + 11）也以 FO、OC 為底、同高（都由 A 出發），所以 x : (y + 11) = 11 : 12，即 12 × x = 11 × (y + 11)。 3.同樣，COE 和 BOC 同高（都由 C 出發），所以 EO : OB = 11 : 12。AOE 和 AOB（= x + 11）同高，所以 y : (x + 11) = 11 : 12，即 12 × y = 11 × (x + 11)。 - 4.第二式是 12 × y = 11 × x + 121。把第一式兩邊乘以 12：144 × x = 11 × (12 × y) + 1452 = 11 × (11 × x + 121) + 1452 = 121 × x + 2783。
- 5.兩邊減去 121 × x：23 × x = 2783，所以 x = 121。代入第二式：12 × y = 11 × 121 + 121 = 1452，所以 y = 121。
6.四邊形 AFOE = 121 + 121 = 242 平方厘米。 - ⚠️常見錯誤：以為 AFO 和 AOE 的面積一樣，或者只用一個比就作答。兩個未知數，要用兩個比。
答案：242 平方厘米
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