小學奧數題目｜小六★★★★ 極難
圓形奧數題目：例題 10
這道圓形奧數題屬極難程度，適合小六，附逐步圖解和答案。小六的課題，華夏盃小六的晉級賽和總決賽常見圓與正方形組成的陰影題。
題目
公園草地上有一個正六邊形的涼亭，
每條邊長30米，涼亭四周都是草地。
一隻牛用一條長50米的繩子拴在涼亭的一個角上（如圖），
牛不能走進涼亭。
（π 取3.14）
牛能吃到草的範圍面積是多少平方米？
看提示（3 個）
- 提示 1：正六邊形每個內角是多少度？繩子在拴着的角上，可以掃過多少度的扇形？
- 提示 2：繩子比一條邊長，拉到相鄰的兩個角之後還有 50 − 30 = 20 米，可以繼續繞過去。繞過去之後可以掃過多少度？
- 提示 3：大扇形半徑 50 米、圓心角 360° − 120° = 240°；兩個小扇形半徑 20 米，圓心角各是 180° − 120° = 60°。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.正六邊形每個內角 = (6 − 2) × 180° ÷ 6 = 120°。繩子拴在一個角上，涼亭擋住了 120°，牛可以在 360° − 120° = 240° 的扇形裏走動，半徑 50 米。
- 2.大扇形 = 3.14 × 50 × 50 × 240/360 = 3.14 × 2500 × 2/3 平方米（先不急於計算）。
- 3.繩子沿一條邊拉到相鄰的角，還剩 50 − 30 = 20 米，可以繞過這個角：由邊的延長線轉到下一條邊，轉了 180° − 120° = 60°。兩邊各有一個這樣的小扇形。
- 4.兩個小扇形 = 2 × 3.14 × 20 × 20 × 60/360 = 3.14 × 400 × 1/3 平方米（20 米不超過一條邊，不會再繞過第二個角）。
- 5.面積 = 3.14 × (2500 × 2 + 400) ÷ 3 = 3.14 × 5400 ÷ 3 = 3.14 × 1800 = 5652 平方米。
- ⚠️常見錯誤：以為拴在角上就是 3/4 個圓（正方形屋的情況），或者小扇形用 90°。正六邊形的角是 120°，外面的大扇形是 240°，繞角的小扇形只有 60°。
答案：5652 平方米
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