小學奧數題目｜小六★★★★ 極難
圓形奧數題目：例題 11
這道圓形奧數題屬極難程度，適合小六，附逐步圖解和答案。小六的課題，華夏盃小六的晉級賽和總決賽常見圓與正方形組成的陰影題。
題目
一個 L 形花槽由一個長80厘米、闊50厘米的長方形，
在一角切去一個長60厘米、闊20厘米的長方形而成（如圖）。
一塊半徑10厘米的圓形紙片，
緊貼着花槽的外邊滾動一周，回到起點。
（π 取3.14）
紙片掃過的面積（不包括花槽本身）是多少平方厘米？
看提示（3 個）
- 提示 1：沿着每條邊，紙片掃過一條闊 20 厘米的長方形。花槽的周界是多少？（切去一角，周界有沒有變？）
- 提示 2：在向外凸出的角，紙片繞着角轉，掃過甚麼形狀？在向內凹的那個角呢——兩條長方形會不會重疊？
- 提示 3：向外凸的角有 5 個，每個掃過半徑 20 厘米的四分之一圓；向內凹的角，兩條長方形重疊了一個 20 × 20 的正方形。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.切去一角後，周界仍然等於原來長方形的周界：(80 + 50) × 2 = 260 厘米。沿每條邊，紙片掃過闊 20 厘米（一條直徑）的長方形，合共 260 × 20 = 5200 平方厘米。
- 2.向外凸的角共 5 個：紙片繞角轉，掃過半徑 20 厘米的四分之一圓；5 個合共 5 × 3.14 × 20 × 20 ÷ 4 = 1570 平方厘米。
- 3.向內凹的角：紙片同時碰到兩條邊，兩條長方形在這裏重疊了一個 20 × 20 = 400 平方厘米的正方形，被計算了兩次，要減去一次。
- 4.掃過的面積 = 5200 + 1570 − 400 = 6370 平方厘米。
- ⚠️常見錯誤：以為 6 個角都要加四分之一圓（凹進去的角其實沒有），或者忘了凹角兩條長方形重疊；另一個錯誤是四分之一圓的半徑用 10 厘米——紙片最遠的一點離角有一條直徑 20 厘米。
答案：6370 平方厘米
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