小學奧數題目｜小五至小六★★★★ 極難
相遇問題奧數題目：例題 10
這道相遇問題奧數題屬極難程度，適合小五至小六，附逐步圖解和答案。行程問題的基礎，華夏盃小四至小六的晉級賽和總決賽都有相遇、追及的題目。
題目
學校操場有一條筆直的跑道，
長1200米，兩端是 A 和 B。
家樂由 A 端、嘉儀由 B 端同時出發，
沿跑道來回跑：
跑到一端便立即掉頭，
一直不停，兩人的速度都不變。
家樂每分鐘跑230米，
嘉儀每分鐘跑130米。
兩人面對面碰上，叫作「迎面相遇」；
一人從後面追上另一人，不算迎面相遇。
第 5 次迎面相遇的地點，離 A 端多少米？
看提示（3 個）
- 提示 1：第 1 次迎面相遇時，兩人合共跑了多少米？由第 1 次到第 2 次迎面相遇，兩人又合共跑了多少米？
- 提示 2：把來回跑「拉直」：想像跑道接上一條同樣長的回程，變成一條長 2400 米的環形跑道，兩人在環上反方向跑。每兩次迎面相遇之間，兩人合共跑了多少？
- 提示 3：第 5 次迎面相遇時，兩人合共跑了 (2 × 5 − 1) × 1200 = 10800 米，家樂跑了 6900 米。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.第 1 次迎面相遇時，兩人合共跑了 1 個全長 1200 米。之後兩人各自跑到一端掉頭，再迎面相遇時，合共又跑了 2 個全長。
- 2.為甚麼中途有人追上也不影響？把跑道和它的回程接成一條長 2400 米的環：兩人在環上反方向跑，在環上相遇就是迎面相遇（追上只是在跑道上「重疊」，在環上並沒有相遇）。環上反向跑，每合共跑一圈 2400 米相遇一次。
- 3.所以第 5 次迎面相遇時，兩人合共跑了 1200 + 2400 × 4 = 10800 米，用了 10800 ÷ (230 + 130) 分鐘；家樂跑了 10800 × 230 ÷ 360 = 6900 米。
- 4.家樂每跑 2400 米回到 A 端一次：6900 = 2400 × 2 + 2100。餘下的 2100 米：先跑 1200 米到 B 端，再折返 900 米，所以離 A 端 1200 − 900 = 300 米。
- 5.驗算：嘉儀跑了 3900 米，由 B 端計，折算後也在離 A 端 300 米 ✓
- ⚠️常見錯誤：以為每次相遇之間兩人合共跑 1 個全長，或者把「追上」也算作相遇。另一個錯誤是忘了家樂會在 B 端折返，直接用 6900 − 2400 × 2 當作答案。
答案：300 米
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