坐標與三角｜14–15 歲（中三）
坐標幾何證明工作紙
屬於：坐標幾何
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坐標幾何證明工作紙
坐標與三角｜14–15 歲（中三）
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姓名：日期：得分：／48
請在空位寫上答案。應用題要列式計算，並寫出答句。
一、計算及填充（每題 2 分）
1.A(−3, −3)、B(−2, −2)、C(0, −4)。用距離證明 ∠ABC = 90°：把步驟排好。
- A. AB2 + BC2 = 2 + 8
- B. = 10
- C. ∠ABC = 90°（畢氏定理的逆定理）
- D. = AC2
按正確次序寫出英文字母
答：
2.A(4, −4)、B(6, −3)、C(7, −5)。AB2 = ，BC2 = ，AC2 = ；因為 AB2 + BC2 = AC2，所以 ∠ABC = 90°。
填上每個空格
答：
3.A(−8, 4)、B(−6, 1)、C(−12, −3)。用距離證明 ∠ABC = 90°：把步驟排好。
- A. = 65
- B. = AC2
- C. ∠ABC = 90°（畢氏定理的逆定理）
- D. AB2 + BC2 = 13 + 52
按正確次序寫出英文字母
答：
4.A(−1, −5)、B(−4, −6)、C(−6, 0)。AB2 = ，BC2 = ，AC2 = ；因為 AB2 + BC2 = AC2，所以 ∠ABC = 90°。
填上每個空格
答：
5.ABCD 是平行四邊形，A(6, −3)、B(−2, 3)、C(6, 2)。對角線互相平分，AC 的中點就是 BD 的中點，所以 D = (, )。
填上每個空格
答：
二、選擇及判斷（每題 2 分）
6.A(−4, 4)、B(3, 1)、C(2, 0)、D(−6, −3)。要用坐標證明 AB ∥ CD，應該說明下面哪一項？
- A. AB 的斜率 = CD 的斜率
- B. AB 的中點 = CD 的中點
- C. AB = CD
- D. AB 的斜率 × CD 的斜率 = −1
選出正確答案
答：
7.A(1, −4)、B(0, −5)、C(−1, −4)。∠ABC = 90°。
判斷對錯
答：
8.A(5, 8)、B(2, 6)、C(0, 9)。∠ABC = 90°。
判斷對錯
答：
9.A(1, −2)、B(−5, −6)、C(2, −3)、D(−5, 0)。要用坐標證明 AB ∥ CD，應該說明下面哪一項？
- A. AB 的中點 = CD 的中點
- B. AB 的斜率 × CD 的斜率 = −1
- C. AB 的斜率 = CD 的斜率
- D. AB = CD
選出正確答案
答：
10.A(−4, −4)、B(−1, −6)、C(−5, 6)、D(−8, 8)。ABCD 是平行四邊形。
判斷對錯
答：
11.A(6, 6)、B(5, 1)、C(−3, −1)、D(−2, 3)。ABCD 是平行四邊形。
判斷對錯
答：
12.A(−2, 0)、B(−4, 3)、C(−1, 6) 組成的三角形是哪一種？
- A. 既不是直角三角形，也不是等腰三角形
- B. 直角三角形（不等腰）
- C. 等腰三角形（沒有直角）
- D. 等腰直角三角形
選出正確答案
答：
三、應用題（每題 4 分）
13.一個廣場的四個角在 A(0, 2)、B(2, −2)、C(−6, 5)、D(−8, 9)。AC 的中點 = (, )，BD 的中點 = (, )；兩條對角線的中點相同，互相平分，所以 ABCD 是平行四邊形。
填上每個空格
列式計算：
答：
14.一個三角形花圃的角在 A(1, 0)、B(4, 3)、C(10, −3)。用三邊的長度證明 ∠ABC = 90°，把步驟排好。
- A. = AC2
- B. ∠ABC = 90°（畢氏定理的逆定理）
- C. = 90
- D. AB2 + BC2 = 18 + 72
按正確次序寫出英文字母
列式計算：
答：
15.一塊田的三個角在 A(−3, −3)、B(−4, −4)、C(−6, −2)。要證明 ∠ABC 是直角：AB 的斜率 = ，BC 的斜率 = ；兩者的積是 −1，所以 AB ⊥ BC，∠ABC = 90°。
填上每個空格
列式計算：
答：
16.一個三角形屋頂架的頂點在 A(1, −4)，兩個底角在 B(2, −2) 和 C(3, −3)。AB2 = ，AC2 = ；所以 AB = AC，△ABC 是等腰三角形。
填上每個空格
列式計算：
答：
17.一個三角形花圃的角在 A(−1, 2)、B(2, 3)、C(3, 0)。用三邊的長度證明 ∠ABC = 90°，把步驟排好。
- A. AB2 + BC2 = 10 + 10
- B. ∠ABC = 90°（畢氏定理的逆定理）
- C. = 20
- D. = AC2
按正確次序寫出英文字母
列式計算：
答：
18.一個廣場的四個角在 A(6, −1)、B(−4, 2)、C(5, 5)、D(15, 2)。AC 的中點 = (, )，BD 的中點 = (, )；兩條對角線的中點相同，互相平分，所以 ABCD 是平行四邊形。
填上每個空格
列式計算：
答：
看答案和詳細步驟
坐標幾何證明工作紙・答案及詳解
一、計算及填充
1. A → B → D → C
先算兩條較短邊的平方和，得 10，它等於 AC2，最後由逆定理得出直角。
2. 5，5，10
距離的平方：AB2 = 5，BC2 = 5，AC2 = 10，5 + 5 = 10。由畢氏定理的逆定理，∠ABC = 90°。
3. D → A → B → C
先算兩條較短邊的平方和，得 65，它等於 AC2，最後由逆定理得出直角。
4. 10，40，50
距離的平方：AB2 = 10，BC2 = 40，AC2 = 50，10 + 40 = 50。由畢氏定理的逆定理，∠ABC = 90°。
5. 14，−4
(−2 + x2, 3 + y2) = (6 + (6)2, −3 + (2)2)：x = 6 + (6) − (−2) = 14，y = −4。也可以：由 B 到 A 怎樣走，由 C 照走就到 D。
二、選擇及判斷
6. A. AB 的斜率 = CD 的斜率
平行線的斜率相等：求出 AB 和 CD 的斜率，相等就證明了 AB ∥ CD。
7. 對
求 AB 和 BC 的斜率，積是 −1 就互相垂直，∠ABC = 90°；也可以看 AB2 + BC2 是否等於 AC2。
8. 對
求 AB 和 BC 的斜率，積是 −1 就互相垂直，∠ABC = 90°；也可以看 AB2 + BC2 是否等於 AC2。
9. C. AB 的斜率 = CD 的斜率
平行線的斜率相等：求出 AB 和 CD 的斜率，相等就證明了 AB ∥ CD。
10. 對
看 AB 和 DC、AD 和 BC 的斜率是否分別相等；或者看 AC 和 BD 的中點是否相同。
11. 錯
看 AB 和 DC、AD 和 BC 的斜率是否分別相等；或者看 AC 和 BD 的中點是否相同。
12. A. 既不是直角三角形，也不是等腰三角形
AB2 = 13，BC2 = 18，AC2 = 37：有兩個相等就是等腰；較小兩個之和等於最大一個就是直角。
三、應用題
評分：列式 2 分、答案 1 分、答句 1 分。
13. −3，72，−3，72
AC：(0 + (−6)2, 2 + (5)2) = (−31, 72)；BD：(2 + (−8)2, −2 + (9)2)，一樣。
14. D → C → A → B
AB2 = 18，BC2 = 72，相加得 90，正是 AC2；三邊符合畢氏定理，由逆定理 ∠ABC = 90°。
15. 1，−1
AB：−3 − (−4)−3 − (−4) = 11；BC：−2 − (−4)−6 − (−4) = −11；11 × (−11) = −1。
16. 5，5
AB2 = (2 − (1))2 + (−2 − (−4))2 = 5；AC2 = (3 − (1))2 + (−3 − (−4))2 = 5。
17. A → C → D → B
AB2 = 10，BC2 = 10，相加得 20，正是 AC2；三邊符合畢氏定理，由逆定理 ∠ABC = 90°。
18. 112，2，112，2
AC：(6 + (5)2, −1 + (5)2) = (112, 21)；BD：(−4 + (15)2, 2 + (2)2)，一樣。
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