小學奧數題目｜小六★★★★ 極難
立體圖形奧數題目：例題 10
這道立體圖形奧數題屬極難程度，適合小六，附逐步圖解和答案。華夏盃小五、小六的初賽和總決賽常見，例如塗色的小正方體、水位和堆疊的表面積。
題目
一個長方體木塊的長、闊、高都是整數厘米，
而且都不少於3厘米。
把木塊的六個面都塗上顏色，
然後切成棱長1厘米的小正方體。
數一數，
恰好兩面塗色的小正方體有32個，
恰好一面塗色的有42個（圖不按比例）。
這個長方體木塊的體積是多少立方厘米？
看提示（3 個）
- 提示 1：恰好兩面塗色的小正方體在哪裏？恰好一面塗色的呢？設長、闊、高分別比原來少 2，寫成 x、y、z。
- 提示 2：兩面塗色的在 12 條棱上（不計頂點）：4 × (x + y + z) = 32。一面塗色的在 6 個面的中間：2 × (x × y + y × z + z × x) = 42。
- 提示 3：x + y + z = 8，x × y + y × z + z × x = 21。設 x 最小，由 x = 1 開始試：另外兩個數的和是 8 − x，積是 21 − x × (8 − x)。
詳解
先自己想一想，再看下面的逐步詳解。
- 1.設長、闊、高各減 2 後是 x、y、z（不在頂點的那幾段）。恰好兩面塗色的在 12 條棱上，每條棱上有 x、y 或 z 個：4 × (x + y + z) = 32，所以 x + y + z = 8。
- 2.恰好一面塗色的在 6 個面的中間部分，每對面各有 x × y、y × z、z × x 個：2 × (x × y + y × z + z × x) = 42，所以 x × y + y × z + z × x = 21。
- 3.設 x 最小（x 不超過 8 ÷ 3）。y + z = 8 − x，y × z = 21 − x × (8 − x)。逐一試：x = 1：y + z = 7、y × z = 14，沒有合適的整數；x = 2：y + z = 6、y × z = 9，y = 3、z = 3 ✓。
- 4.所以 x、y、z 是 2、3、3，木塊長 5、闊 5、高 4 厘米（次序不影響），體積 = 4 × 5 × 5 = 100 立方厘米。
- 5.驗算：兩面塗色 4 × (2 + 3 + 3) = 32 ✓；一面塗色 2 × (6 + 9 + 6) = 42 ✓
- ⚠️常見錯誤：棱上的小正方體連頂點也計算在內（用長、闊、高，而不是各減 2）；或者只用兩面塗色的數目就猜一個長方體，沒有用一面塗色的數目去核對。
答案：100 立方厘米
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